Економічна інтерпретація основної та спряженої задач лінійного програмування

Основну ЗЛП (8.1), (8.2) можна інтерпретувати так. Нехай є n різних технологій для виробництва одного продукту. При цьому використовується m інгредієнтів (різні види сировини й інші виробничі фактори). За j-ю технологієюза одиницю часу використовується одиниць і-го інгредієнта, загальний запас якого дорівнює і виробляється одиниць продукту. Нехай – час, протягом якого виробництво здійснюється за j-ю технологією. Тоді при «завданні» буде вироблено одиниць продукції і використано одиниць і-го інгредієнта ( ).

Природно виникає задача: відшукати такий оптимальний план, при якому за наявних запасів інгредієнтів виготовлялася б максимальна кількість продукції. Математична модель цієї ситуації – основна ЗЛП: максимізувати лінійну форму

за обмежень

Для економічної інтерпретації спряженої ЗЛП зручно ціну одиниці продукції, що виготовляється, узяти за одиницю. Тоді за j-ю технологією за одиницю часу створюється продукт ціною в грошових одиниць. На це витрачається одиниць першого інгредієнта, – другого інгредієнта, .... , – m-го інгредієнта. Позначивши відносні ціни одиниці кожного інгредієнта відповідно для оцінки використаних ресурсів (у прийнятому масштабі цін) одержимо суму і очевидно, вона не менша за ціну одержаного продукту:

(9.1)

Зрозуміло, що і, що взявши достатньо великі , ми задовольняємо всі умови. Не бажаючи, одначе, завищувати відносні ціни інгредієнтів, можна взяти їх меншими, щоб подальше їх зниження було неможливим (оскільки умова (9.1) перестане виконуватись). За мінімальних відносних цін інгредієнтів, ціна всього запасу набуватиме найменше значення і складе суму

Отже, математичною моделлю економічної задачі встановлення у взятому масштабі таких допустимих цін на інгредієнти, щоб ціна їх резерву була найменшою, слугує спряжена задача: мінімізувати лінійну форму

за обмежень

Тепер властивість 1 (розд. 8) набуває економічної суті: якщо для задачі (8.1), (8.2) існує оптимальний план максимального виготовлення продукції, то існує й оптимальний план мінімальних відносних цін на інгредієнти. Причому в цьому масштабі цін сумарна вартість усієї продукції, виготовленої за оптимальним планом, збігається із сумарною вартістю запасів всіх інгредієнтів.

Властивість 2 можна трактувати так: якщо в деякому оптимальному плані виробництва витрати і-го інгредієнта строго менші за його резерви :

,

то в кожному оптимальному плані відносних цін ціна цього інгредієнта дорівнює нулю. Якщо ціна і-го інгредієнта більша за нуль, то в кожному оптимальному плані виробництва витрати цього інгредієнта точно дорівнюють його запасу:

Далі, якщо в деякому оптимальному плані відносних цін сумарна вартість інгредієнтів, що використовуються за j-ю технологією, строго більша за ціну виробленого за цією технологією кінцевого продукту:

,

то в жодному оптимальному плані виробництва j-та технологія не використовується, тобто Якщо ж за деяким оптимальним планом j-та технологія використовується ( ), то в кожному оптимальному плані відносних цін ціна інгредієнтів, що використовуються за j-ю технологією, точно дорівнює ціні виготовленого за цією технологією продукту:

Отже, оптимальні плани спряжених задач становлять гармонію: оптимальному плану виробництва відповідає оптимальний план відносних цін, за яким використовувані технології рентабельні, а ті, що не використовуються, збиткові, і навпаки.