Волны материи

В соответствии с современными представлениями лю­бые мате­ри­альные объекты характеризуются наличием и кор­пускулярных и волновых свойств, взаимосвязь между ко­торыми определяет урав­нение де Бройля: l = h/(mv), где m и v – масса и скорость дви­жения материального объекта, характеризующие его корпус­ку­лярные свойства, а l - длина волны, отражающая волновые свойства объекта.

Пример 1. Определите энергию фотона в джоу­лях и элект­рон-воль­тах, соот­вет­ствующего красной грани­це видимого све­та (l = 750 нм). Чему равна энер­гия таких фо­то­нов, выраженная в джо­у­лях на моль?

Решение. По уравнению Планка энергия фотона с дли­ной вол­ны l:

Е = hn = hc/l = 6.626×10^-34×3×10⁸/750×10^-9 = 2.65×10^-19 Дж

Поскольку 1эВ = 1.602×10^-19 Дж, то в электрон-вольтах энер­гия фо­то­на состав­ля­ет Е = 1.65 эВ. Энергия одного моля таких фото­нов:

Е = N_A×2.65×10^-19 = 6.023×10²³×2,65×10^-19 = 1.6×10⁵ Дж/моль.

Пример 2. Определите длину волны электрона, дви­жу­ще­го­ся со ско­ростью 2×10⁸ м/c.

Решение. С учетом значений массы и скорости движения электрона: m_e = 9.1×10^{-31 кг, v = 2}×10⁸ м/с, длина волны электрона в соответствии с уравнением де Бройля:

l = 6.626×10^-34/(9.1×10^-31×2×10⁸) = 3.6×10^{-12 м.}

Пример 3. Определите массу и энергию фотона, соответствующую по­явле­нию в спектре атомарного водорода наиболее длинноволновой ли­нии серии Баль­ме­ра.

Решение. Наиболее длинноволновая (низкоэнергетическая) линия се­­рии Баль­ме­ра возникает в ре­зуль­тате перехода электрона с третьего на второй энер­ге­ти­чес­кий уровень:

hc/l = (2p²m_ee⁴/h²)×(1/2² – 1/3²)

l = hc/[(2p²m_ee⁴/h²)×(1/2² – 1/3²)] = 6.563×10^{-7 м}

Из уравнения де Бройля это соответствует массе движущегося со скоростью света (с = 3×10⁸ м/с) фотона:

m = h/lc = 6.6262×10^-34/(6.536×10^-7×3×10⁸) = 3.3×10^{-36 кг.}

Энергия фотона с l=6.536×10^{-7 м определяется уравне­ни­ем Планка:}

Е = hn = hc/l = 6,6262×10^-34×3×10⁸/6,536×10^-7 = 3×10^-19 Дж.

Одним из экспериментальных подтверждений наличия у электро­маг­нитного из­лучения не только волновых, но и корпускулярных свойств является фо­то­эф­фект – испускание металлами электронов при освещении их электромагнитным излучением, частота которого больше некоторого порогового значения (крас­ной границы фотоэф­фекта). В соответствии с квантовой теорией Эйнштейна, при освеще­нии поверхности металла электромагнитным излучением, представ­ля­­ющим собой поток фотонов с энергией E = hn, происходит пере­да­ча энергии фотонов электронам металла, которые вылетают из метал­ла с кинетической энергией (mv²/2), равной разности энергии па­да­ю­щих фотонов и энергии вы­хо­да (W) электронов из крис­таллической решетки металла:

mv²/2 = hn - W.

Пример 4. Определите красную границу фотоэффекта для цезия, ес­ли работа вы­­хода электрона из цезия состав­ляет 1.9 эВ.

Ращение. В соответствии с уравнением Ейнштейна:

hn = hc/l = W + mv²/2

максимальная длина волны, соответствующая красной границе фото­эф­фекта, оп­­­­­­ре­деляется равенством энергии фотонов и ра­боты выхода элект­ро­на W из ма­те­­риала фотокатода hc/l = W:

l = hc/W = 6.626×10^-34×3×10^-8/(1.9×1.602×10^-19) = 6.53×10^{-7 м = 653 нм.}

Фундаментальным принципом природы, лежащим в ос­но­ве сов­ре­мен­ных пред­ставлений о корпускулярно-волновой двойст­вен­ности ма­­териальных объек­тов, является принцип неопределеннос­ти Гейзенберга – невозможно сколь угодно точно одновременно оп­ре­де­лить положение и импульс ма­те­ри­аль­ного объекта:

D q×Dp h/2p,

где Dq – неопределенность положения объекта в пространстве (его координат), а Dp – неопределенность импульса (р = mv) объекта.

Пример 5. Определите относительную неопределенность в поло­же­нии элек­т­­ро­на в атоме водорода при движении его по первой бо­ров­ской орбите, если от­но­си­тельная точность определения его ско­рос­ти составляет 1%.

Решение. В соответствии с принципом неопределенности:

Dq×Dp h/2p или Dq×Dv h/2pm_e.

Поскольку ско­рость элек­т­ро­на на первой (n=1) боровской орбите:

v₁ = (h/2p)(1/m_er₁),

то из условия задачи следует:

Dv = 0,01v₁ = 0,01(h/2p)(1/m_er₁)

Подставляя выражение для Dv в соотношение Гей­зен­берга, по­лу­чим:

Dq×0,01(h/2p)(1/m_er₁) h/2pm_e,

Dq/r₁ 100

Tаким образом, величина неопределенности в по­ло­жении элек­т­ро­на на бо­ров­­ской орбите составляет более 10000%, что указы­вает на прин­ципиальную не­возможность описания его движения по фиксиро­ван­ным орбитам.

Упражнения:

18. Определите скорость движения электрона, если его дли­­на вол­­ны составляет 2.42×10^{-8 м.}

19. Масса фотона равна массе электрона (9.1×10^{-31 кг). Ка­ко­ва дли­на волны этого фотона?}

20. Определите длину волны нейтрона (m = 1.675×10^{-27 кг), дви­жу­­­ще­­гося со скоростью 4}×10² м/с.

21. С какой скоростью должна двигаться a-частица, чтобы ее дли­на волны сос­тав­ляла 2×10^{-12 м?}

22. Определите длину волны молекулы фтора, движущейся со ско­ростью 500 м/с. Можно ли экспериментально наблюдать волно­вые свойства та­кой моле­ку­лы фтора?

23. Какую энергию необходимо сообщить невозбужденному атому во­до­ро­да, что­бы он мог испускать излучение с l = 1.5×10^{-7 м?}

24. Определите энергию фотонов в джоулях, электрон-вольтах и джо­улях на моль, со­от­ветствующих синей границе видимого све­­та l = 400 нм.

25. Радиостанция ведет передачи на частоте 1120 кГц. Какова дли­на волны и энергия фотона такого излучения?

26. Определите величину скорости движения фотоэлектрона, об­ра­­зу­­ю­щего при освещении цезиевого фотокатода видимым све­том с дли­ной волны 450 нм, если работа выхода электрона из це­зия равна 1.9 эВ.

27. Металлический литий испускает электроны под воздействием из­лучения с длиной волны не более 520 нм. Определить работу вы­­хода для лития. Како­ва кинетическая энергия элект­ро­нов, ис­пускаемых литием при осве­ще­нии его светом с l = 360 нм?

28. Вывести общее соотношение, связывающее относительные не­оп­­ре­де­лен­­нос­ти в скорости движения электрона (x_v = Dv/v) по боров­ской орбите и его положения (x_q = Dq/r) на орбите.