Модель Бора электронного строения атома водорода и водородоподобных ионов

Модель Бора электронного строения одноэлектронных во­­дородо­по­добных систем основана на планетарной моде­ли Резерфорда и двух постулатах:

- движение электрона вокруг положительно заряженного яд­ра ато­ма без излучения им электромагнитной энергии мо­­жет про­ис­ходить только по дискретным стационарным орбитам, удов­­летворяющим условию равенства момента количества дви­же­ния электрона це­лому числу квантов действия: m_evr = nh/2p, где m_e и v – масса и скорость дви­жения электрона, r – радиус стацио­нар­ной орби­ты, h – постоянная Планка, n – квантовое число, и­ме­ю­щее целочисленные значения: 1, 2, 3,… µ;

- излучение или поглощение квантов энергии происходит при пере­хо­де элек­т­ро­на с одной стационарной орбиты на другую: hn = DE, где DE – энер­ге­ти­чес­кая разность состояния электрона на стацио­нар­ных орбитах.

Модель Бора позволила получить основные характеристики дви­же­­ния элект­ро­на в электрическом поле положительно заряженного яд­ра атома – величину ра­диуса стационарных орбит, скорости и пол­ной энер­гии элек­т­рона:

r = n²h²/(4p²m_ee²),

v = 2pe²/(nh),

E = -2p²m_ee⁴/(n²h²)

и обосновать линейчатый характер спектров из­лу­чения и поглощения атомов во­дорода:

hn = DE = (2p²m_ee⁴/h²)(1/n_i² – 1/n_j²),

где n_i и n_j – квантовые числа стационарных орбит.

Пример 1. Определите радиус, скорость движения и энер­гию элек­т­­ро­на в ато­ме водорода на второй боровской ор­бите.

Решение. Движение электрона на второй боровской орбите соот­вет­ст­вует зна­че­нию квантового числа n = 2. Поскольку m_e= 9.1×10^{-31 кг, e-} =1.6×10^-19 Кл и h =6.626×10^-34 Дж×с, то для второй бо­ров­ской ор­би­ты:

r = (2×6,626×10^-34)²/[4×(3,14)²×9,1×10^-31×(1,6×10^-19)²] = 2.16×10^{-10 м = 2.16 Å,}

v = (2×3,14×6,626×10^-34)/(2×6,626×10^-34) = 4.37×10⁶ м×с^-1,

E₂ = -2(3,14)²×9,1×10^-31×(1,6×10^-19)⁴/(2×6,626×10^-34)² = -2.176×10^-18 Дж.

Пример 2. Определить третий потенциал ионизации атома лития.

Решение. Атом Li состоит из ядра с Z = +3 и трех электронов. Тре­тий по­тен­ци­ал ионизации (ПИ₃) атома Li соответствует энер­гии, не­об­хо­димой для уда­ле­ния элек­т­рона от водородоподобного иона Li²⁺:

Li²⁺ = Li³⁺ + e^-.

Для опи­са­ния движения электрона в таких водо­ро­до­по­доб­ных сис­те­мах мо­гут быть ис­пользованы соотношения анало­гичные урав­не­ни­ям для атома водо­рода, но с уче­том действия на электрон куло­нов­с­ко­го притяжения к ядру с за­ря­дом Z:

r = n²h²/(4p²m_eZe²),

v = 2pZe²/(nh),

E = -2p²m_eZ²e⁴/(n²h²).

Значение третьего по­тенциала ионизации Li по абсолютной вели­чи­не рав­но энергии электрона, на­ходящегося в ионе Li²⁺ на первой (n=1) боровской орбите:

ПИ₃ =2p²m_eZ²e⁴/(h²)=2(3.14)²×9.1×10^-31×(3)²×(1.6×10^-19)⁴/(6.626×10^-34)² =1.96×10^-17 Дж.

Пример 3. Определить квантовое число n возбужденного состоя­ния атома H, при переходе из которого в основное состояние в спект­ре испускания возникает линия с волновым числом 97492,208 см^-1.

Решение. Испускание атомами H кван­тов электромаг­нит­ного излу­че­ния с энер­­ги­ей E = hc/l происходит при пере­ходе электрона между ста­ци­о­нар­ными ор­битами с различными значе­ни­ями кван­то­во­го чис­ла n:

hc/l = E(n_i)– E(n_j) = (2p²m_ee⁴/h²)×[1/n_j² – 1/n_i²]

Поскольку основному состоянию отвечает значение n = 1, то энер­гия кван­тов с волновым числом 1/l со­от­ветствует энерге­ти­чес­кому раз­личию между сос­тоянием электрона на стационарных орбитах с n_j= 1 и n_i = n:

1/l = (2p²m_ee⁴/h³c)×(1/1² – 1/n²).

Величина 2p²m_ee⁴/h³c соответствует постоянной Ридберга R_H:

R_H = 2p²m_ee⁴/h³c = 109677.581 см^-1

Таким образом, появление спектральной линии с волновым числом 97492,208 см^-1 в спектре испускания атомов водорода связано с пере­хо­дом электрона из возбужденного состояния с квантовым числом n в основное состояние:

109677,581(1/1² – 1/n²) = 97492.208, n = 3.

Упражнения:

11. Сравните энергию, скорость движения электрона на чет­вер­той боровской орбите и ее радиус по срав­не­нию с пер­вой бо­ровской орбитой атома водорода.

12. Определите потенциал ионизации атома водорода.

13. Определите второй потенциал ионизации атома гелия. Каково соотношение между номером кван­тового уровня и чис­­лом – по­ду­ровней иСерия Бальмера в спектре испускания атомов Н образует­ся за счет пе­ре­ходов электрона на вторую боровскую орбиту. Оп­ре­де­лить, ка­кие из ли­ний серии Бальмера попадают в видимую часть спектра от 400 до 750 нм.

14. Определите наиболее высоко энергетические линии, наблю­дае­мые в спек­­т­­ре атомов водорода для серии Бальмера, Лаймена, Пашена, Бреккета и Пфунда.

15. Определите энергию возбуждения электрона в атоме натрия, если его па­­ры поглощают фотоны с длиной волны 434 нм.

16. Определите энергетические переходы электрона атома водоро­да, соот­вет­­ствующие красной (l = 656 нм) и голубой (l = 486 нм) линии в спектре ис­пускания атомарного водорода.

17. Каким линиям в спектре отвечает излучение водорода при пе­ре­ходе элек­­т­рона из одного энергетического состояния в другое со следующими на­чаль­ными и конечными значениями главного кван­то­вого числа: а) n = 4 и 2; б) n = 2 и 1; в) n = 3 и 2? Какой области электро­маг­нит­ного спектра от­ве­чают эти линии?