Численные методы анализа сосредоточенных динамических моделей

Сосредоточенные динамические модели описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями. Дифференциальное уравнение n-го порядка всегда можно заменить n уравнениями первого порядка. Это так называемая задача Коши. Для численного решения этой задачи в основном используются конечно-разностные методы, основанные на замене дифференциальных уравнений алгебраическими, построенными на разностной пространственно-временной сетке.

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений

или .

Область непрерывного изменения аргументов дифференциального уравнения заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами сетки, а получаемая при решении задачи приближенная функция называется сеточной. Возможны различные схемы аппроксимации производных на некотором промежутке между узлами сетки с индексами «i-1», «i» и «i+1». Первые производные могут аппроксимироваться правыми разностями

, (68)

левыми разностями

, (69)

центральными разностями

. (70)

Аппроксимация второй производной:

. (71)

Преобразование дифференциального уравнения в конечно-разностное позволяет получить расчетные зависимости, соответствующие одношаговому численному методу Эйлера первого порядка точности в явном (72) или неявном (73) видах.

Для схемы (68) . (72)

Для схемы (69) . (73)

Уравнения (72) и (73) представляют собой разложение функции v_j(t) в окрестности i-го узла в ряд Тейлора, ограничиваясь слагаемыми, соответствующими первым производным.

Покажем возможные формы реализации численного метода Эйлера при разложении функции v_j(t) до вторых производных, что соответствует второму порядку точности.

Для явной формулы Эйлера (72), используя аппроксимацию вторых производных правыми разностями, получаем неявный одношаговый метод второго порядка точности:

(74)

Если аппроксимировать вторые производные левыми разностями, получим явный двухшаговый метод:

(75)

Взяв за основу неявную формулу Эйлера (73) и аппроксимируя вторые производные левыми разностями, получим неявный двухшаговый метод:

. (76)

Следует отметить, что для явных схем решения задачи Коши при относительно простых алгоритмах вычислений возникает проблема устойчивости численных методов, связанная в основном с прогрессирующим накоплением погрешностей сеточной функции, зависящих от величины размеров сетки. Потеря устойчивости решения может иметь место при увеличении шага h и приводит к значительным погрешностям, соизмеримым или превосходящим расчетные значения самих функций. В теории приближенных вычислений дается обоснование значения предельно допустимого шага, гарантирующего достаточную устойчивость метода решения задачи Коши. При этом выбор шага сетки основывается на исследовании матрицы Якоби системы уравнений модели по спектру собственных чисел, что является достаточно трудоемкой задачей, особенно для систем большой размерности. Поэтому приемлемая величина шага обычно подбирается в процессе решения самой задачи в зависимости от характера изменения сеточных функций переменных при различных размерах сетки.

Основным недостатком неявных схем является необходимость решения на каждом шаге дополнительной системы связанных алгебраических уравнений, что значительно усложняет алгоритм вычислений и повышает его трудоемкость. Однако определение переменных на основе решения систем уравнений, включающих данные двух соседних узлов, обеспечивает гарантированную устойчивость метода в пределах выбранных размеров сетки, и шаг решения влияет только лишь на результирующую погрешность.