Центр ваги дуги кола

Якщо для певного руху матеріального об’єкта отримані формули, за допомогою яких визначені перераховані кінематичні характеристики, то можна вважати, що основне завдання теоретичного курсу кінематики розв’язане.

Основним завданням практичної частини курсу кінематики є визначення за допомогою формул, отриманих в теоретичному курсі, кінематичних характеристик руху окремих точок матеріального об’єкта. Треба зазначити, що визначені кінематичні характеристики руху, як і сам механічний рух, є відносними. Їх величина і характер зміни залежать від вибору системи відліку. Так, наприклад, траєкторія руху будь-якої точки обода колеса автомобіля, який рухається по дорозі відносно автомобіля, буде коло, а відносно дороги (землі) – циклоїда. А тому при визначенні кінематичних характеристик руху необхідно чітко з’ясувати, в якій системі відліку вони визначаються. В кінематиці систему відліку найчастіше пов’язу-ють з Землею, а останню вважають нерухомою.

Кінематику можна назвати геометричним вченням про рух, бо вона питання про сили, які зумовлюють цей рух, зовсім не розглядає. Ширша постановка питання про рух тіл, де на перший план висувається зв’язок між рухом тіла і прикладеними до нього силами, належить динаміці, а тому кінематику часто трактують як вступ до динаміки. Але треба мати на увазі, що результати встановлені в кінематиці, мають і велике самостійне значення. Для багатьох механізмів питання про діючі сили має порівняно другорядне значення. Правильна ж дія механізму забезпечується досконалим кінематичним аналізом рухів окремих його частин (ланок).

Основними матеріальними об’єктами, механічний рух яких вивчається в кінематиці, є точка і тверде тіло. А тому саму кінематику можна розділити на кінематику точки і кінематику твердого тіла.

2.1 Кінематика точки

Рух точки як об’єкта, розмірами якого нехтують, можна розглядати як простий або складний. Простий рух і відносний у випадку складного руху точки можна задати і вивчити трьома способами: векторним, координатним і натуральним.

§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки

В даному способі положення рухомої точки визначається вектором , початок якого знаходиться в деякому нерухомому центрі . Цей вектор позначається буквою і називається радіусом-вектором рухомої точки . При русі точки радіус-вектор неперервно змінюється як за напрямом, так і за величною. Наприклад, в момент рухома точка займає положення , а її радіус-вектор приймає значення . Отже, є функцією часу . Математично це можна описати так:

(2.1)

Рівняння (2.1) є рівнянням (законом) руху точки у векторній формі. Для визначення траєкторії точки згадаємо одне визначення з математики:

лінія, яка описується в просторі кінцем змінного вектора, початок якого знаходиться в нерухомій точці, називається годографом даного вектора.

Отже, у відповідності з рис. 84 траєкторією руху точки при векторному способі задання її руху є годограф її радіуса-вектора .

Для визначення швидкості точки розглянемо два її послідовні положення. Припустимо, що в момент часу рухома точка перебуває в положенні , яке визначається радіусом-вектором , а в момент – в положенні , яке визначається радіусом-вектором (рис. 85).

Отже, за проміжок часу точка змістилася на вектор . Відношення приросту радіуса-вектора точки до приросту часу називається середньою швидкістю точки за проміжок часу , тобто

.

Вектор середньої швидкості напрямлений по вектору , тобто по хорді .

Рис. 84

Рис. 85

Швидкість точки в даний момент, або просто швидкість точки, – це граничне значення середньої швидкості, коли приріст часу прямує до нуля, тобто:

. (а)

Згідно з рівнянням (2.1) є неперервною функцією часу , а це означає, що границя цього відношення є похідна від за часом .

Отже,

. (2.2)

Швидкість точки дорівнює першій похідній за часом від її радіуса-вектора.

Зауваження. Похідні за часом в механіці прийнято позначити крапочками зверху, тобто: ; і т.д.

З отриманої формули видно:

1) швидкість точки – це вектор, про що було сказано вище;

2) вектор швидкості точки напрямлений по дотичній до її траєкторії в бік її руху, бо граничне положення вектора , коли , є положення дотичної до годографа вектора (рис. 85).

Для визначення пришвидшення точки знову розглянемо два її послідовні положення. Нехай в момент часу рухома точка перебуває в положенні і має швидкість , а в момент – в положенні , де її швидкість (рис. 86). Отже, за проміжок часу вектор швидкості точки отримав приріст . Цей приріст знайдемо, якщо вектор умовно перенесемо в точку і з’єднаємо кінці векторів і (рис. 86).

Відношення приросту вектора швидкості точки до приросту часу називається середнім пришвидшенням точки за проміжок часу , тобто:

Вектор середнього пришвидшення напрямляється по вектору (рис. 86).

Пришвидшення точки в даний момент часу, або просто пришвидшення точки, – це є граничне значення середнього пришвидшення коли приріст часу прямує до нуля, тобто:

Отже

(2.3)

Пришвидшення точки дорівнює першій похідній за часом від вектора її швидкості.

Якщо врахувати формулу (2.2) для швидкості, то отримаємо

(2.3)

Пришвидшення точки дорівнює другій похідній за часом від її радіуса-вектора.

З отриманих формул випливає:

1. Пришвидшення точки – це вектор.

2. Вектор пришвидшення точки напрямлений в бік вгнутості її траєкторії і лежить в стичній площині (рис. 86).

3. Вектор пришвидшення точки напрямлений по дотичній до годографа вектора її швидкості. І дійсно, якщо побудувати годограф вектора швидкості (рис. 87), то вектор – це хорда , граничне положення якої, коли , є дотична.

§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки

В даному способі положення рухомої точки в просторі визначається координатами. Значення цих координат суттєво залежить від вибраної системи координат: декартова, циліндрична, сферична і т.д. В механіці, як і в математиці, найчастіше використовують декартову систему координат, в якій положення рухомої точки в просторі визначається координатами (рис. 88). При русі точки ці координати змінюються, тобто є деякими функціями часу

(2.5)

Рішення (2.5) ­називаються кінематичними рівняннями руху точок в декартовій системі координат. Передбачається, що функції , і є однозначними, неперервними і принаймні два рази неперервно диференційованими.

Легко встановити зв’язок між векторним і координатним способами задання руху точки. З рис. 88 видно, що

, (2.6)

де – орти відповідних осей координат.

З математичної точки зору рівняння (2.5) – це параметричні рівняння лінії в просторі. Очевидно, цією лінією є траєкторія рухомої точки. Отже, рівняння (2.5) є також рівняннями траєкторії точки в параметричній формі. Виключивши з рівнянь (2.5) параметр , отримаємо рівняння траєкторії в явній формі. Виключення можна провести за такою схемою. З першого рівняння системи (2.5) знаходимо як функцію

,

і цей вираз підставляємо в друге і третє рівняння. Тоді отримаємо

(2.7)

Отримані результати є рівняннями траєкторії точки в декартових координатах. Треба зазначити, що тут приведено лише схему виключення параметрів . На практиці залежно від заданих рівнянь, наших знань і умінь застосовують різноманітні способи виключення параметра .

Приклад. Знайти рівняння траєкторії точки, рух якої описується рівняннями

,

Розв’язання. Знаючи, що , виключення параметра проводимо так:

Це є рівняння еліпса. Отже, траєкторія точки є еліпс, а виключення параметра проведено за допомогою тригонометричної тотожності.

Для отримання формул, за допомогою яких визначається швидкість точки, коли рух її задано координатним способом, тобто задані рівняння (2.5), використаємо формули (2.2) і (2.6). Підставивши (2.6) в (2.2), отримаємо

Оскільки , то маємо

Звідси, згідно з основними положеннями векторної алгебри отримаємо, що проекції вектора швидкості на декартові осі координат будуть визначатись за формулами

(2.8)

тобто:

проекції вектора швидкості на декартові осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат.

За отриманими проекціями визначаємо величину вектора швидкості

(2.9)

і його напрямні косинуси

(2.10)

Отримані формули (2.8)-(2.10) визначають вектор швидкості точки у випадку, коли рух її задано в декартовій системі координат, тобто задані рівняння (2.5).

Використовуючи формули (2.4) і залежність (2.6), отримаємо формули для визначення пришвидшення. Підставляючи (2.6) в (2.4), отримаємо

або

Звідси, згідно з основними положеннями векторної алгебри проекції вектора пришвидшення на декартові осі координат будуть визначатись формулами

(2.11)

тобто:

проекції вектора пришвидшення на декартові осі координат дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат.

Знаючи проекції, за формулою

(2.12)

вираховуємо величину вектора пришвидшення, а його напрямні косинуси – за формулами

(2.13)

Формули (2.11)-(2.13) визначають вектор пришвидшення точки у випадку, коли рух її задано в декартовій системі координат, тобто задано рівняннями (2.5).

§ 38 Швидкість і пришвидшення точки
в полярних координатах

Як практичне застосування отриманих формул, визначи-мо швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах. З математики відомо, що положення точки на площині можна визначити параметрами і , які є координатами полярної системи координат (рис. 89). На цьому рисунку для наочності зображено і декартову систему координат . При русі точки координати і неперервно змінюються, тобто є функціями часу

(2.14)

Записані рівняння є рівняннями руху точки в полярних координатах. З рис. 89 видно, що залежність між декартовими і полярними координатами визначається співвідношеннями

(а)

Продиференціювавши співвідношення (а) за часом, отримаємо проекції вектора швидкості точки на декартові осі координат

(б)

і, використовуючи формулу (2.9), визначимо величину вектора швидкості

Отже,

(2.15)

Формула (2.15) визначає величину швидкості точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14). Введемо одиничні вектори полярної системи координат: напрямлений по радіусу-вектору в бік зростання і , повернутий відносно на кут в бік зростання кута (рис. 89). Із формули (2.15) видно, що швидкість точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпендикулярних векторів: – радіальної складової і – поперечної (трансверсальної) складової. Якщо і додатних знаків, то вектори і співпадають із напрямами одиничних векторів і і навпаки, якщо і від’ємних знаків, то і вектори і мають напрями, протилежні до і (рис. 90).

За допомогою формул (2.11) і (2.12) визначимо пришвидшення точки. Для цього співвідношення (б) ще раз диференціюємо за часом

Згрупувавши окремі члени, отримаємо

Величину вектора пришвидшення визначимо за формулою

. (2.16)

Формула (2.16) визначає величину вектора пришвидшення точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14).

Із формули (2.16) видно, що пришвидшення точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпен-дикулярних векторів: – радіальної складової і – трансверсальної складової. Напрями векторів і визначаються так само, як і напрями векторів швидкості, і залежать від знаків алгебраїчних величин і . Вектори і для випадку і показані на рис. 90.