Численное интегрирование (метод Эйлера)

Метод Эйлера является сравнительно грубым, однако идеи, положенные в его основу, являются основой для многих более точных численных методов. Поэтому рассмотрим его

подробно.

Пусть имеется дифференциальное уравнение первого

порядка

у' = f (х,у)

с начальными условиями х=хО, у⁼у0, у'=у'О.

Выберем число h настолько малым, чтобы для всех х в интервале (xO,xl), где xl=xO+h, значения функции у мало от­личались от уО. Тогда для этого интервала изменения х можно написать:

yl = уО + (xl - хО) у'О.

Отсюда следует, что величина yl вычисляется по из­вестным, заданным нами, начальным условиям и по формуле прямой линии.

Нетрудно догадаться, что, в случае принятия за на­чальные условия вычисленные значения yl, у'1⁼(у1-у0)/п, можно вычислить для х2 величину функции у2, а также сле­дующее значение производной в точке 2 (у'2).

В общем виде получим:

У;+1 = У; + h у'; У' i+i = (У i+i - yi)/h

Пример. Решение дифференциального уравнения энергообеспечения мышечного сокращения.

Начальные условия. Примем концентрацию АТФмах за 5 мМ на 1 кг сырой массы мышцы, концентрацию КрФ мах за 15 мМ/кг, интервал времени dt=O.OOl, начальное время t0=0, начальная концентрация Са = Самах = 10, ионов водорода Н=0.

Алгоритм вычислений.

1 шаг. Вычислим скорость расхода АТФ в начальный
момент времени:

V1=V1max • ATP/ATPmax* Ca/Camax • 1/(1+Н)

2 шаг. Вычислим скорость ресинтеза КрФ в начальный
момент времени.

V2 = V2max • (1 - ATP/ATPmax) • CrP/CrPmax

3 шаг. Вычислим изменения в количестве АТФ за ин­
тервал времени dt

ATPi = ATPo + (V2 - V1) • dt

t = t+ dt

4 шаг. Печатаем результат вычислений: время, ATPi.

5 шаг. Вычисления повторяются с 1 шага.

Реализация этого алгоритма дает набор чисел, показы­вающих изменение концентрации АТФ во времени, т.е. реше­ние дифференциального уравнения.