Математическое моделирование

Классическим методом описания моделей живых си­стем является запись связи в виде дифференциальных урав­нений, например, они широко используются в монографиях Ф.Гродинза и Дж.Милсума.

Системы, которые описывают протекание физических, химических процессов во времени, называются динамически­ми:

х = fi(xl, х2, ...., xm; t), i = 1,2, ... , т.

Решение системы при ограничениях на вид функции fi полностью определяется значениями xl,x2, ... , xm (фазовыми координатами) в некоторый момент времени tO, которые назы­вают начальными условиями.

При описании биологических объектов можно выделить некоторые независимые объемы веществ, участвующих в ки­нетических процессах. Такое вещество называют компартмен-том, а модели - компартментальными. В общем случае ком-партментальная модель содержит несколько связанных между собой компартментов, в которых протекают три типа процессов - обмен между компартментами и средой, превращение компо­нент друг в друга, и, наконец, исчезновение каких-то компарт­ментов (утилизация).

Процессы в компартментальных моделях описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если си­стема описывается дифференциальными уравнениями в част­ных производных, то такие модели называют потоковыми. На­пример, так описываются изменения плотности вещества в пространстве. Однако, при определенных упрощениях такие процессы могут быть описанными как существующие во вре­мени, т.е. как компартментальные.

Основной элемент схемы - концентрация или количе­ство вещества (х). Жизнедеятельность основного элемента свя­зана с процессом потребления (притока) вещества (V2) и про­цессом его преобразования (VI). В этом случае дифференци­альное уравнение будет описывать скорость изменения кон­центрации вещества в некотором объеме в зависимости от скорости его синтеза и скорости его преобразования:

dx/dt=V2 -V1

Возьмем в качестве примера расход молекул АТФ и их ресинтез за счет запасов КрФ при мышечном сокращении. Блок-схема этого процесса может быть представлена так:

Для начала расходования АТФ (АТР) необходимо, что­бы к мышце поступили импульсы из ЦНС и из цистерн сарко-плазматического ретикулума начали выходить ионы кальция Са. Чем выше концентрация Са, тем больше тратится АТФ. Ограничение на скорость расхода АТФ накладывают запасы АТФ (с уменьшением концентрации АТФ снижается вероят­ность образования актин-миозиновых мостиков) и концентра­ция ионов водорода Н (положительно заряженные ионы водо­рода конкурируют с Са в местах связывания на актине). Ма­тематически эта логика может быть описана следующей фор­мулой:

V1=V1max • ATP/ATPmax* Ca/Camax • 1/(1 +Н)

Скорость расходования КрФ обуславливается концент­рацией молекул АДФ, иначе говоря, снижением концентрации молекул АТФ, а также запасом (концентрацией) молекул КрФ:

V2 = V2max • (1 - ATP/ATPmax) • CrP/CrPmax