Критерий устойчивости Михайлова.
Из выражения (5.10) следует критерий устойчивости Михайлова, согласно которому изменение аргумента характеристического вектора определяется по годографу вектора, записанному в виде
D(jw) = X(w) + jY(w) = D(w)ejy(w) , (5.11)
где X(w) и Y(w) действительная и мнимая части характеристического вектора, а D(w) и y(w) его модуль и аргумент.
Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jw) при изменении w от 0 до ¥ равнялось бы n .
Другими словами, система устойчива, если годограф характеристического вектора (кривая Михайлова), начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.
На рис.5.8 приведены примеры годографов для устойчивой и неустойчивой систем.
а) б)
Рис. 5.8. Кривая Михайлова:
а - устойчивой системы 3-го порядка; б - неустойчивой системы
Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В этом случае
X(w) = 0 и Y(w) = 0. (5.12)
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости.
Пример. Исследуем на устойчивость систему, рассмотренную в предыдущем примере, характеристический полином которой имеет вид: D(p) = T1 T2 p3 + ( T1 + T2 )p2 + p + k.
Решение. Найдем годограф характеристического вектора
D(jw) = T1 T2 (jw)3 + ( T1 + T2 )(jw)2 + jw + k.
Откуда
Re D(jw) = X(w) = k - ( T1 + T2 )w2;
Im D(jw) = Y(w) = w - T1 T2 w3 .
Для того, чтобы система 3-го порядка была устойчива, кривая Михайлова должна последовательно проходить три квадранта (рис.5.9).
Рис. 5.9. Кривая Михайлова
Найдем условие устойчивости из требования чередования корней
0=w1<w2<w3.
Корень w2 находится из уравнения X(w)=0, откуда
.
Отсюда первое условие устойчивости: k>0.
Корень w3 находится из уравнения Y(w)=0, откуда
.
Подставляя эти значения в требуемое условие w2<w3, получаем второе условие устойчивости системы
k < ( + ),
которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица.
Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 867;