Основна теорема теорії представлень. Характери.

В теорії груп характером представлення групи називають функцію від елементів групи, значення якої для кожного елемента групи рівне сліду відповідної матриці.

Характер подає важливу інформацію про представлення у досить компактній формі і тому можуть бути використані для вивчення її структури. Теорія характерів є важливим інструментом у класифікації простих скінченних груп.

Визначення[ред. • ред. код]

Нехай V — скінченновимірний векторний простір над полем F і нехай ρ: G → GL (V) — представлення групи G на V.Характером представлення ρ називається функція χ ρ :GF →', визначена так:

де — слід матриці.

Характер χ ρ називається незвідним, якщо ρ є незвідним представленням. Ядром характера χ ρ називаєтьсямножина:

де χ ρ (1) — значення χ ρ на одиничному елементі групи. Якщо ρ є представленням групи G розмірності k і 1 є одиницею групи G, то

Властивості[ред. • ред. код]

Значення характеру є незмінними на усіх елементах довільного класу суміжності групи.

Ізоморфні представлення мають однакові характери. Над полем характеристики 0, уявлень є ізоморфні, якщо і тільки якщо вони мають той же характер.

Якщо характер скінченної групи G розглядати на деякій підгрупі H, то результат буде характером H.

Кожне значення характеру є сумою n коренів з одиниці степеня m, де n є розмірністю векторного простору представлення з характером χ і m — порядок елемента g. Зокрема, коли F є полем комплексних чисел, кожне таке значення характеру є алгебраїчним числом.

Якщо F є полем комплексних чисел, і є незвідним, то є цілим алгебраїчним числом для кожного x в G.

Якщо поле F є алгебраїчно замкнутим та Char (F) не ділить | G |, то кількість незвідних характерівGрівна кількостікласів суміжності групи G. Крім того, у цьому випадку степені незвідних характерів є дільниками порядку групи G.

Арифметичні властивості[ред. • ред. код]

Нехай ρ і σ — представлення групи G. Тоді виконуються такі тотожності:

. .

де є прямою сумою, є тензорним добутком, позначає спряжене транспонування від ρ, Alt2 (ρ) = і

.

Таблиці характерів[ред. • ред. код]

Усі незвідні характери можна подати за допомогою таблиці характерів, що містить багато корисної інформації про групу G в компактній формі. Кожен рядок, помічається деяким незвідним характером і в рядку записуються значення цього характеру для елементів класів суміжності G. Стовпці таблиці помічаються представниками класів суміжностіG. Перший рядок зазвичай відповідає тривіальному характеру, а перший стовпець є класом суміжності одиниці. Елементами першого стовпця є значення незвідних характерів на одиниці, тобто розмірності характерів. Характери степеня 1 відомі як лінійні характери.

Нижче подана таблиця характерів циклічної групі з трьома елементами і генеруючим елементом U :

де ω є примітивним кубічним коренем з одиниці.

Таблиці характерів завжди є квадратними, тому що число незвідних неізоморфних представлень дорівнює кількості класів суміжності. У першому рядку таблиці характерів стоять одиничні елементи, і він відповідає тривіальному представленню (1-вимірне представлення, що кожному елементу групи ставить у відповідність матрицю 1 × 1, з елементом 1).

Співвідношення ортогональності[ред. • ред. код]

На просторі комплекснозначних, незмінних на класах суміжності функцій скінченної групи G можна задати наступний скалярний добуток:

де означає комплексно-спряжене значення на G. Відносно цього скалярного добутку, незвідні характери утворюють ортонормований базис в просторі функцій незмінних на класах суміжності, і це дає співвідношення ортогональності для рядків характерів таблицею:

Для співвідношення ортогональності для стовпців, виглядає таким чином:

де сума береться по всіх незвідних характерах із G і символ позначає порядок централізаторів .

Властивості таблиць характерів[ред. • ред. код]

Деякі властивості группи G можуть бути виведені з її таблиці характерів:

Порядок G рівний сумі квадратів елементів першого стовпця (степенів незвідних характерів). Більш загально сума квадратів абсолютних значень елементів в будь-якому стовпці рівна порядку централізатора елементів відповідного класу сумужності.

Всі нормальні підгрупиG можуть бути визначені за допомогою таблиць характерів. Ядро харкактеру χ це множина елементівG, для яких χ (G) = χ (1); Ядро є нормальною підгрупою групи G. Кожна нормальна підгрупа G єперетином ядер деяких незвідних характерів G.

Комутант групи G є перетином ядер лінійних характерів G. Зокрема, група G є абелевою , якщо і тільки якщо всі її незвідні характери є лінійними.

Таблиці характерів в загальному не визначають групу з точністю до ізоморфізму: наприклад, група кватерніонів Q ідігедральна група з 8 елементів (D 4 ) мають однакові таблиці характерів.