Векторный способ задания движения точки
Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиус-вектора r, проведённого из некоторого неподвижного центра О в данную точку М (рис. 2.16).
Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени радиус-вектор, т. е. должна быть задана вектор-функция rаргумента t.
r = r(t).
Это выражение называют уравнением движенияпривекторном способе задания движения точки.
Траектория движения точки является геометрическим местом концов радиус-вектора r. Иногда траекторию движения точки называют годографомрадиус-вектораr.
Векторный способ задания движения точки, как правило, используется при доказательстве теорем, так как он упрощает многие выводы и иногда подчёркивает физическую сущность явления.
Вектор V скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки по времени:
V = dr/dt = 
,
где (·) – символ однократного дифференцирования функции r = r(t) по времени.
Ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения точки. Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от скорости V или второй производной от радиус-вектора r = r(t) точки по времени:
a = dV/dt = d2r/dt2 = 
,
где (··) – символ двойного дифференцирования функции r = r(t) по времени.
Если поместить начало неподвижной системы отсчёта OXYZ в точку О (точка О – полюс радиус-вектора r = r(t)), то можно связать координатный и векторный способы задания движения точки. Так как единичные векторы I, j, k системы отсчёта OXYZ постоянны, то справедливы следующие равенства:
r = i·X + j·Y + k·Z;
V = = i·
+ j·
+ k·
;
a= = i·
+ j·
+ k·
.
Варианты курсового задания К 1
«Определение скорости и ускорения точки
по заданным уравнениям её движения»
Для закрепления теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание К 1.
По заданным уравнениям движения точки М (табл. 2.1) установить вид её траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Таблица 2.1
| Номер варианта | Уравнения движения | t1, c | |
| X = X(t), см | Y = Y(t), см | ||
| – 2·t2 + 3 | – 5·t | 0,5 | |
| 4·cos2·(p·t/3) + 2 | 4·sin2·(p·t/3) | ||
| – cos(p·t2/3) + 3 | sin(p·t2/3) – 1 | ||
| 4·t + 4 | – 4·(t + 1) | ||
| 2·sin(p·t/3) | – 3·cos(p·t/3) + 4 | ||
| 3·t2 + 2 | – 4·t | 0,5 | |
| 3·t2 – t + 1 | 5·t2 – 5·t/3 – 2 | ||
| 7·sin(p·t2/6) + 3 | 2 – 7·cos(p·t2/6) | ||
| – 3/(t + 2) | 3·t + 6 | ||
| – 4·cos(p·t/3) | – 2·sin(p·t/3) – 3 | ||
| – 4·t2 + 1 | – 3·t | 0,5 | |
| 5·sin2·(p·t/6) | – 5·cos2·(p·t/6) – 3 | ||
| 5·cos(p·t2/3) | – 5·sin(p·t2/3) | ||
| – 2·t – 2 | – 2/(t + 1) | ||
| 4·cos(p·t/3) | – 3·sin(p·t/3) | ||
| 3·t | 4·t2 + 1 | 0,5 | |
| 7·sin2·(p·t/6) – 5 | – 7·cos2·(p·t/6) | ||
| 1 + 3·cos(p·t2/3) | 3·sin(p·t2/3) + 3 | ||
| – 5t2 – 4 | 3t | ||
| 2 – 3·t – 6·t2 | 3 – 3·t/2 – 3·t2 |
Окончание табл. 2.1
| 6·sin(p·t2/6) – 2 | 6·cos(p·t2/6) + 3 | ||
| 7·t2 – 3 | 5·t | 0,25 | |
| 3 – 3·t2 + t | 4 – 5·t2 + 5·t/3 | ||
| – 4·cos(p·t/3) – 1 | – 4·sin(p·t/3) | ||
| – 6·t | – 2·t2 – 4 | ||
| 8·cos2·(p·t/6) + 2 | – 8·sin2·(p·t/6) – 7 | ||
| – 3 – 9·sin(p·t2/6) | – 9·cos(p·t2/6) + 5 | ||
| – 4·t2 + 1 | – 3·t | ||
| 5·t2 + 5·t/3 – 3 | 3·t2 + t + 3 | ||
| 2·cos(p·t2/3) – 2 | – 2·sin(p·t2/3) + 3 |
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 2049;