Симплексный метод

Вначале перейдем от системы неравенств (5.14) к системе уравнений, добавив к левым частям неравенств неотрицательные переменные x₃, x₄, x₅. Мы получим:

ì4x₁+9x₂+x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅=56

перепишем теперь систему (5.16) в виде системы 0-уравнений:

ì0=56 - (4x₁+9x₂+1 ^. x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅)

заметим, что система (5.18) может быть записана в виде одного векторного равенства:

0=B-(A₁x₁+A₂x₂+A₃x₃+A₄x₄+A₅x₅),

где вектор-столбец В имеет своими компонентами свободные члены, а векторы A₁, A₂, ... , A₅ - коэффициенты при соответствующих переменных x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. Иными словами:

Линейная форма имеет вид: ¦=3x₁+4x₂+0 ^. x₃+0 ^. x₄+0 ^. x₅.

Векторы A₃, A₄, A₅ образуют базис. Это означает, что, присвоив х₁=0, х₂=0, получаем из (5.16) первое базисное решение: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2.

При этом значение линейной формы ¦=0. На основании (5.18) строим первую симплексную таблицу.

Симплексная таблица строится следующим образом:

В заглавной строке пишем последовательно векторы B, A₁, A₂, A₃, A₄ , A₅. Слева добавляем колонку «Базисные векторы», рядом с ней колонку «С», в которой поставлены коэффициенты при базисных переменных в линейной форме, в данном случае величины С₃, С₄, С₅. В последней строке, называемой индексной, и обозначаемой через ¦ j-С_j, проставляются числа, равные значению линейной формы, в соответствием с уравнением (j=1, 2, 3, 4, 5). В итоге мы имеем таблицу 5.3.

Таблица 5.3.

Это первая симплексная таблица, соответствующая первому базисному решению: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2. Значение линейной формы, равное нулю, мы записываем в первой клетке индексной строки.

Т.к. мы решаем задачу на максимум, то из выражения линейной формы видно, что имеет смысл увеличить x₁ или x₂. Действительно, коэффициенты при этих переменных в скобках отрицательны (а по существу положительны), и если мы положим x₁>0 или x₂>0, то значение ¦ увеличится. Но эти же коэффициенты с их знаками стоят в индексной строке.

Итак, мы приходим к следующему выводу: наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено, и то, что от табл. 5.3 надо перейти к следующей.

Переход к новой таблице, т.е. к новой улучшенной программе осуществляем следующим способом: в индексной строке находим наибольшее по абсолютному значению отрицательное (а при задаче на минимум - наибольшее положительное) число. В нашем примере этим числом будет - 4. Найденное число определяет ведущий или ключевой столбец. Затем мы делим свободные члены на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В данном случае имеем:

Таким образом, ведущей строкой будет строка A₅. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит разрешающий элемент. В нашем случае - это число 2.

Теперь мы приступаем к составлению второй таблицы или второго плана. Вместо единичного вектора A₅ мы в базис вводим вектор A₂. Переход к новому базису, как это известно, эквивалентен элементарному преобразованию матрицы, элементами которой служат числа табл. 5.3. А именно: в новой таблице элемент строки, соответствующий элементу ведущей строки прежней таблицы, равен этому элементу ведущей строки, разделенному на разрешающий элемент. чтобы получить любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно от соответствующего элемента прежней таблицы отнять произведение элемента ведущей строки на элемент ведущего столбца, разделенное на разрешающий элемент. Например, элементу 4 (табл. 5.3) будет соответствовать элемент табл. 5.4:

Таким образом, мы переходим ко второй таблице (таблица 5.4). Указанные выше преобразования относятся к столбцам B, A₁, A₂, A₃, A₄ , A₅.