Примеры. 1. Для стального бруса (Е=2МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

1. Для стального бруса (Е=2МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

мальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещения этих сече-

ние.

Решение. Продольную силу в поперечном сечении определим проектируя внешние силы, приложенные справа от рассматриваемого сечения на ось бруса:

N_DL=0; N_BC=60 кH;

N_AB=60+120=180 кH.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)

В поперечных сечениях бруса воз-никают нормальные напряжения.

σ_DL==0;

σ_CD= ===

=12Па=120 МПа;

σ_ВС= == 50 МПа; σ_АВ= == 150 МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

Поперечные сечения бруса под действием внешних сил смещаются впра-во относительно неподвижного сечения А. Величина смещения сечения, ра- положенного на расстоянии х от левого конца бруса равна деформации уча-стка длинной х:

на участке АВ при (0)

_АВ===0.75

на участке ВС при (0)

_ВС==0.75+

на участке АВ при (0)

_CD=_ВС +=10³⁺=

Участок DL не деформируется (N_DL=0, следовательно _DL=0), но пере-мещается в следствии деформаций участков, расположенных слева.

Во всех полученных выражениях переменная х входит в первой степени, а следовательно зависимость между и х линейная. Это позволяет по расчётным перемещениям сечений В, С, D, L построить эпюру перемещений (в размерности мм).

Поскольку _I===ε_i·х, то относительная продольная деформация ε_i на каждом участке представляет собой коэффициент, соответ-ствующий углу наклона эпюры на каждом участке. Сравнивая эпюры σ и эпюры можно наблюдать, что чем больше значения σ, тем круче линия эпюры (при условии Е=const), а на участке DL – эпюра перемещений гори-зонтальна.

2. Для металлического бруса, находящегося под действием сил построена эпюра N продольных сил, возника-ющих в его сечениях. Произвести расчёт на прочность стержня в следующих случаях.

2.1 Стержень изготовлен из плас-тичной стали:

σ_adm=160 МПа, F=40 кН. Подобрать площади поперечных сечений для каждого из участков.

Решение. Условие безопасной прочности σ = σ_adm позволяет вычислить минимальную площадь поперечного сечения:

А₁===12.5 см²;

А₂= 7.5 см²; А₃= 5 см².

Для второго участка, где N₂ <0 берём абсолютное значение силы 120 кН и делим на допускаемое напряжение σ_adm=160 МПа, которое для пластичных ма-

териалов имеет одинаковое значение и в случае растяжения, и в случае сжатия. Принимаем: А₁=12.5 см²; А₂=7.5 см²; А₃=5 см².

2.2 Стержень изготовлен из чугуна:

σ_{adm t}=120 МПа; σ_admс=310 МПа; F=50 кН; А₁=25 см²; А₂ =; А₃= ?

Проверить прочность стержня. Дать рекомендации по изменению поперечных сечений (рациональные сечения).

Решение. Определим напряжения на каждом участке

σ₁==10⁴ =100 МПа; σ₂== -300 МПа;

σ₃== 125 МПа. Условия безопасности прочности на первом участ-ке σ₁=100 МПа120 МПа = σ_adm выполняется, но площадь этого участка мож-но уменьшить до величины = 20.83 см³ (принимаем 21см²), тогда потребуется меньше материала для изготовления конструкции.

На втором участке σ₂=310 МПа = σ_admс сравнивать необходимо абсолютную величину сжимающих напряжений. Условие прочности выполне-но, а недонапряжение σ%=100%3.2%

На третьем участке σ₃=125 МПа120 МПа=σ_adm, и условие формально не выполняется. Однако перегрузка σ%=100%4.2% не превышает 5%, что позволяет оставить площадь третьего участка А₃=8 см².

2.3 Стержень изготовлен из пластичной стали:

σ_adm=160 МПа; А₁=30 см²; А₂=15 см²; А₃=20 см². Определить допускаемое зна-чение нагрузки F.

Решение. Следует сравнить напряжения на каждом из трёх участков и из усло-вия безопасной прочности σ_мах=σ_adm, определить величину допускае-мой силы F.

σ ₁== 0.167 F; σ ₂==0.2 F; σ ₃== 0.1 F.

На втором участке нормальные напряжения наибольшие по абсолютному зна-чению, поэтому, наибольшее значение силы F_мах.

=≤ 160 МПа = σ_adm F_мах160=

=8·10⁴ Н = 80 кН. Допускаемая величина силы F_adm= 80 кН. При таком значении силы на втором участке нормальные напряжения равны σ_adm, а на первом и втором участке они соответственно составляют 83.5% и 50% от σ_adm.

Вопросы для повторения

1. Изложите гипотезу плоских сечений.
2. В чем заключается принцип Сен-Венана?

3. Как вычисляется значение продольной силы N в произвольном поперечном сечении бруса?

1. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

5. Как распределены нормальные напряжения σ_х в поперечных сечениях центрального растянутого бруса и чему они равны?

6. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные напряжения?

1. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении?

8. Как формулируется закон Гука? Запишите формулы абсолютной и относительной продольной деформации бруса?

1. Что представляют собой эпюра продольных перемещений?

10. Как учитывается собственный вес бруса в аналитическом выражении для продольной силы?

11. Как объяснить наличие множителя 1/2 в формуле удлинения вертикального бруса постоянного сечения от собственного веса?

1. В чем смысл и какова формула поверочного расчета?

13. Как назначаются допускаемые напряжения для пластичных и хрупких материалов?

1. Как выполняется проектировочный расчет?

15. Какие три характерных вида задач встречаются при расчете на прочность конструкции?

16. Почему считается возможным отклонение до 5% фактического напряжения от допустимого?

17. Почему необходимо выполнять условие жесткости? Приведите приме-ры.

18. При проведении расчета на прочность по предельным состояниям с чем сравнивают фактические напряжения?