Общая постановка однокритериальной статической стохастической задачи принятия решений

Пусть S₁, ..., S_l, ..., S_r – набор возможных исходов операции,
X₁, ..., X_k, ..., X_t – набор возможных стратегий (альтернатив).

Каждая альтернатива связана с множеством возможных исходов.

Q_kl – значение некоторого показателя эффективности операции в случае появления l-того исхода при реализации оперирующей стороной k-ой стратегии.

H_kl – вероятность появления l-ого исхода при реализации k-ой стратегии.

Примерами таких задач могут служить задачи поиска наиболее приемлемого решения в экономических, технических, социальных системах.

При оптимизации решения используют два принципа:

1. «искусственное сведение к детерминированной схеме»,

2. «оптимизация в среднем».

Оба эти принципа представляют собой детерминизацию исходной задачи на разных уровнях влияния стохастических факторов.

Первый связан с детерминизацией на уровне факторов, второй – на уровне показателя эффективности.

При этом перед ЛПР стоят две проблемы. Во-первых, концептуальная, связанная с выбором варианта сведения стохастической задачи принятия решений к детерминированной и выбором критерия оптимальности. Во-вторых, выбор метода решения детерминированной задачи.

Используя первый принцип «искусственное сведение к детерминированной схеме», в задаче все случайные факторы заменяют детерминированными (например, математическим ожиданием М(х)). Этот подход имеет смысл использовать, когда диапазон значений случайной величины мал (как правило, если ведутся грубые расчеты; например, при использовании методов сетевого планирования и управления).

Суть второго принципа «оптимизация в среднем» состоит в переходе от исходного случайного показателя эффективности Q к его некоторой усредненной статистической характеристике.

Пусть операция имеет дискретный характер. В табл. 4.1 представлены возможные значения Q_kl некоторого показателя эффективности и вероятности H_kl их появления в операции с t стратегиями и r исходами. Для каждой k-ой стратегии X_k может быть определено математическое ожидание показателя эффективности.

Таблица 4.1

Дискретный случай показателя эффективности

В качестве оптимальной стратегии Х при «оптимизации в среднем» будет выбрана такая, которая удовлетворяет условию:

F = F(X) = = ., k=1,...,t.

«Оптимизация в среднем» сводит задачу принятия решений в условиях риска к детерминированной, следовательно, для ее решения можно использовать аппарат математического программирования.

Замечание. Первый принцип «искусственное сведение к детерминированной схеме» приводит к тому же результату, что и «оптимизация в среднем» в тех случаях, когда показатель эффективности исхода операции зависит от случайных параметров линейно.

При «оптимизации в среднем» могут быть рассмотрены различные случаи:

1. критерий оптимальности F=M[Q] или F_k=M[M(Q_kl)] получен в аналитической форме,

2. критерий оптимальности получен в алгоритмическом виде.

Найденная стратегия Х – такова, что при многократном повторении операции в одинаковых условиях приводит к наилучшему в среднем результату. Всякая другая стратегия даст худший в среднем результат.

Замечание. Выбор той или иной статистической характеристики исходного показателя эффективности Q в качестве критерия оптимальности осуществляется ЛПР.