Задача 2.40.

Рассматривается предельный стационарный режим работы n-канальной системы массового обслуживания с отказами. Плотность потока заявок l, плотность «потока обслуживания» (потока освобождения одного занятого канала) равна m.

Требуется найти следующие характеристики СМО:

среднее число k занятых каналов;

вероятность P_зан того, что произвольно взятый канал будет занят;

среднее время занятости одного (произвольно выбранного) канала;

среднее время простоя канала.

Решение.

1) Для любой СМО, в которой каждая заявка может обслуживаться только одним каналом, среднее число заявок l₀ , обслуживаемых в единицу времени, определяется как произведение среднего числа занятых каналов на плотность потока обслуживаний:

Вероятность обслуживания произвольно выбранной заявки равна отношению плотности потока обслуживаемых заявок к плотности потока поступающих заявок:

, откуда , следовательно ,

или , где ,

Выражение для среднего числа занятых каналов можно получить и из формулы:

, где р_к определяется по формуле:

, k=0, 1, …, n

2) Обозначим вероятность того, что произвольно взятый канал занят обслуживанием какой-то заявки, через Р_зан. Очевидно, что эта вероятность одинакова для всех каналов, тогда:

,

откуда:

3) Среднее время занятости одного канала , т.е. равно среднему времени обслуживания заявки.

4) Среднее время простоя канала определяется из условия:

, (вероятность того, что все каналы заняты),

откуда

.