Проверка гипотезы о нормальном законе распределения.
Критерий согласия Пирсона (критерий согласия (хи)).
Пусть закон распределения случайной величины Х во всей генеральной совокупности неизвестен. Образована выборка объема n. По результатам выборки получено значение . Данные выборки позволяют сформулировать гипотезу Н0 о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами . Для проверки этой гипотезы применяется критерий согласия Пирсона, статистика которого
(1) , где
- вероятность того, что случайная величина заключена в интервале . И эти вероятности вычислены с предположением, что гипотеза Н0 верна, т.е. Х имеет нормальный закон распределения с параметрами . Тогда для вычисления можно применить формулу для нормального закона.
(2)
Случайная величина имеет известный закон распределения, который затабулирован на странице 558.
Значение , полученное по ф. (1) – опытное (эмпирическое), т.к. получено по результатам выборки.
Критическое значение находим по таблице стр. 558 и определяется двумя параметрами α и k, где
α – уровень значимости;
k – называется числом степеней свободы и равняется m = 3, где m – это количество интервалов признака в выборке.
Если , то (гипотеза о нормальном законе отвергается). В противном случае принимается.
Пример:
По результатам обследования 100 станков из 10000 для определения времени бесперебойной работы станка, получены данные, которые занесены в таблицу.
1) Проверить гипотезу Н0 о нормальном законе распределения случайной величины Х – времени бесперебойной работы станка. Применить критерий согласия при уровне значимости равном 0,05;
2) Выписать плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины;
3) Найти вероятность того, что время бесперебойной работы станка будет не менее 35 часов;
4) Построить гистограмму и кривую распределения этой случайной величины;
Дано:
Время бесперебойной работы t α - β | кол-во станков ni | xi | xi *ni | |||||
20-30 | 0,1 | 0,084 | 0,29 | |||||
30-40 | 0,3 | 0,321 | 0,14 | |||||
40-50 | 0,4 | 0,400 | 0,00 | |||||
50-60 | 0,2 | 0,164 | 0,79 | |||||
m = 4 | n = 100 |
;
По таблице получено опытное значение
По таблице на странице 558 получено критическое значение
Опытное значение < , следовательно Н0 не отвергается.
2)
Неизвестные параметры α и σ приближенно равны их выборочным оценкам . При достаточно большом объеме выборки в соответствии с законом больших чисел практически достоверно, что разница между оценкой и параметром сколь угодно мала.
3)
Расхождение между теоретическим и опытным значением связано с тем, что изучалась не вся совокупность, а лишь ее часть.
Замечание:
Расхождение между теоретическими и опытными данными неизбежно, т.к. рассматривается лишь часть генеральной совокупности, однако, если расхождение велико, то это заставляет предполагать, что теоретическая модель неадекватна реальности.
Дата добавления: 2015-05-26; просмотров: 891;