Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Предположим, что частица движется вдоль оси Движение частицы ограничено областью 0 ≤ ≤ , в которой потенциальная энергия частицы (потенциальная энергия отсчитывается от дна ямы). За пределами ямы при < 0 и > потенциальная энергия В пределах ямы частица движется свободно. Сталкиваясь со стенками ямы, она отражается от них и изменяет направление своего движения. За пределы потенциальной ямы частица выйти не может. Волновую функцию, зависящую только от одной координаты обозначим Тогда уравнение Шредингера (7.44.10) примет вид:

(7.44.15)

За пределы ямы частица выйти не может, поэтому вероятность обнаружить ее, а следовательно и волновая функция , за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что и на границах ямы должна быть равна нулю, т.е.:

(7.44.16)

Этим граничным условиям должны удовлетворять решения уравнения (7.44.15). Обозначим Тогда уравнение (7.44.15) примет вид:

(7.44.17)

Решение уравнения (7.44.17) имеет вид:

(7.44.18)

Значения и найдем, используя граничные условия (7.44.16). Из условия получим:

откуда следует, что Выполнение условия

возможно в том случае, если

. (7.44.19)

Откуда

(7.44.20)

Из (7.44.19) следует, что решения уравнения будут иметь физический смысл лишь при значениях энергии, удовлетворяющих соотношению:

( 1, 2, 3, …).

Отсюда найдем собственные значения энергии:

( 1, 2, 3, … ) (7.44.21)

Условие квантования энергии получено непосредственно из решения уравнения Шредингера без дополнительных предположений. Подставив (7.44.20) в (7.44.18), получим собственные функции для данной задачи:

(7.44.22)