Анализ протекания переходного процесса

При КЗ в точке К (рис. 4.1) простейшая электрическая цепь распадается на две независимые цепи (обозначим их М и N), одна из которых – М – остается присоединенной к источнику, а другая – N – превращается в короткозамкнутый контур, ток в котором будет поддерживаться до тех пор, пока запасенная в нем энергия не перейдет в тепло в резисторах R₁. Для части схемы N уравнение баланса напряжений будет:

(4.3)

Решением уравнения (4.3) будет:

, (4.4)

где i₀ – начальное значение свободного тока,

– постоянная времени затухания свободного тока.

Решение уравнения (4.4) показывает, что на участке N имеется лишь свободный ток, который затухает по экспоненте с постоянной времени :

, с. (4.5)

Так как цепь симметрична, то (4.4) правомерно для всех трёх фаз.

Векторная диаграмма и осциллограмма протекания переходного процесса представлены на рис. 4.2. Проекции вращающихся векторов токов I_А, I_В, I_С на неподвижную ось t-t дают начальные мгновенные значения токов i_ОА, i_ОВ, i_ОС, которые затухают с одинаковыми постоянными времени .

Касательная к любой точке экспоненты в принятом для оси времени t масштабе дает значение постоянной времени . Это свойство используется для опытного определения постоянных времени затухания апериодических свободных токов. Для большей точности точку, к которой проводят касательную, нужно брать в начальной (более крутой) части кривой. За время апериодический ток уменьшается в e = 2,71 разa или, что то же, до 1/e = 0,368 своего начального значения. В соответствии с этим, величине можно дать такое определение: это время, в течение которого переменная величина уменьшается до 0,368 своего начального значения.

а б

Рис. 4.2. Векторная диаграмма (а) и осциллограмма переходного
режима (б) для участка цепи N

После затухания апериодической составляющей заканчивается переходный процесс в части цепи N за t = 0,1...0,3 с. В одной из фаз свободный ток может отсутствовать, если в момент возникновения КЗ предшествующий ток в этой фазе проходил через нуль; при этом свободные токи в двух других фазах будут одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Поэтому в начальный момент трёхфазное КЗ является несимметричным КЗ, так как начальные значения свободного тока каждой фазы различны.

Рассмотрим протекание переходного процесса на участке М, получающем питание от источника бесконечной мощности.

Так как суммарное сопротивление цепи, к которой присоединен источник, уменьшилось, то ток в общем случае должен увеличиться, и кроме того, должен измениться и угол сдвига тока относительно напряжения.

Обратимся к векторной диаграмме (рис. 4.3), постоянной для начального момента трехфазного КЗ, помня, что любую синусоидальную величину можно представить в виде неизменного по величине вектора, вращающегося относительно неподвижной оси t-t с частотой вращения ω_c Проекции этого вращающегося вектора на неподвижную ось дают мгновенные значения.

Пусть векторы U_А, U_В, U_С, I_А, I_В, I_С характеризуют нормальный режим цепи. Ось +1 является осью отсчета углов, а вертикаль t-t является неподвижной осью времени, т. е. мгновенные значения токов и напряжений определяются проекциями на эту ось соответствующих вращающихся векторов.

Рис. 4.3. Векторная диаграмма для начального момента
трехфазного КЗ простейшей цепи

В момент КЗ сопротивление цепи М внезапно уменьшается. Следовательно, мгновенно должен возрасти периодический ток этой цепи, причем его сдвиг по фазе также изменится. Напряжение источника сохранится постоянным на все время переходного процесса, а поэтому новое значение периодической составляющей тока не будет затухать. Допустим, что векторы I_ка, I_кв, I_кс характеризуют периодический ток установившегоcя режима. Поскольку цепь содержит индуктивность, то значение полного тока в такой цепи в момент нарушения режима не может измениться скачком. Периодическая же составляющая тока в момент КЗ увеличилась скачкообразно, изменится магнитный поток, обусловленный этой составляющей тока. Изменение магнитного потока вызовет наведение в цепи ЭДС
и появление свободной составляющей тока, начальное значение которой полностью компенсирует приращение мгновенного значения периодической составляющей. Это – апериодическая составляющая (на рис. 4.3 для фазы А I_А–I_ПА). Таким образом, наряду с периодической составляющей тока КЗ возникает на участке М апериодическая составляющая тока КЗ. Сложение обоих токов дает значение полного тока КЗ.

Рассмотрим основные соотношения процесса для участка М. Поскольку при трехфазном КЗ симметрия фаз не нарушается, рассмотрим основные соотношения для одной фазы, например, для фазы А.

По второму закону Кирхгофа для любого момента времени:

(4.6)

которое, имея в виду, что i_А + i_В + i_С = 0, можно представить, опуская индекс фазы:

,(4.7)

где L_к = (L – M) – результирующая индуктивность фазы.

Общее решение уравнения (4.7) записывается

, (4.8)

где i_n – вынужденная (периодическая) составляющая тока КЗ;

i_a – апериодическая (свободная) составляющая тока КЗ.

, (4.9)

. (4.10)

Следовательно, значение тока КЗ определится выражением:

(4.11)

где – комплексное сопротивление цепи КЗ;

–аргумент комплексного сопротивления цепи КЗ;

α – угол, определяющий значение напряжения фазы А при t = 0, или фаза включения.

При рассматриваемых условиях амплитуда периодической составляющей остается неизменной. Начальное значение апериодической составляющей io находится из условия, что в цепи с индуктивностью ток в момент нарушения режима сохраняется неизменным, т. е. i(-o) = i(+o). Ток до нарушения режима при t = (-o) из выражения (4.11) равен:

. (4.12)

Ток в момент нарушения режима при t = (+o) из выражения (4.11)

. (4.13)

Следовательно,.(4.14)

Закон изменения полного тока КЗ выражается формулой:

. (4.15)

Чем больше периодическая составляющая тока, тем больше смещение кривой полного тока относительно оси времени.

Мгновенные значения i_n(-o), i_n(+o) определяются как проекции векторов I_m и I_mк на линию времени t-t. Поэтому начальное значение i_a(o) можно рассматривать как проекцию вектора I_m-I_mк на эту линию (рис. 4.4). При таком представлении наглядно видно, что, в зависимости от момента возникновения КЗ, начальное значение i_a(o) может изменяться от возможной наибольшей величины, когда вектор I_m-I_mк параллелен оси времени, до нуля, когда этот вектор перпендикулярен оси времени. В последнем случае апериодическая составляющая тока в данной фазе отсутствует, так как мгновенное значение предшествующего тока совпадает с мгновенным значением периодической составляющей нового режима.

Рис. 4.4. Oсциллограмма переходного процесса токов фаз

Возможное наибольшее значение апериодической составляющей тока КЗ зависит от фазы включения α и от предшествующего режима цепи. Если до КЗ ток был отстающим, то максимум ia(o) получается при условиях, показанных на рис. 4.5, т. е. когда разность I_m-I_кm параллельна оси времени t-t.

а б

Рис. 4.5. Условия образования наибольшей величины
апериодической составляющей тока КЗ:
а – при наличии предшествующего тока; б – при его отсутствии