Необмежена двопровідна система

Розглянемо фізичну сутність процесів, що відбуваються в системі Лехера відповідно з [6]. Візьмемо до уваги, що поперечні розміри системи є досить малими порівняно з довжиною хвилі. Це означає, що вздовж поперечного напрямку електромагнітне поле можна вважати квазістаціонарним. У той самий час вважаємо, що проводи є довгими – на їх довжині повинно укладатися щонайменше кілька хвиль. Тому електричні струми в проводах не квазістаціонарні, сила струму ,а також лінійна густина електричного заряду істотно змінюються вздовж них (вісь X спрямована паралельно проводам). Унаслідок симетрії струм , що проходить вздовж одного з проводів, є рівним і протилежно спрямованим струму, що проходить навпроти нього вздовж іншого проводу (рис. 5.3.1, стрілками позначено напрямок електричних струмів у деякий момент часу). Аналогічно розміщуються й електричні заряди на проводах. Електричну напругу між проводами, виміряну вздовж перпендикуляра до них, будемо позначати через .

Рисунок 5.3.2 – До розрахунку напруги та струму в двопровідній системі

Розглянемо на одному з проводів системи Лехера нескінченно малий відрізок (рис. 5.3.2). Через точку А за час усередину розглянутого відрізку входить електричний заряд , а через точку D виходить заряд . Різниця заряду, що входить, над зарядом, що виходить, становить . Виходячи із закону збереження електричного заряду, ця величина дорівнює зміні заряду всередині розглянутого відрізку (нагадаємо, що тут – густина електричного заряду). Таким чином,

. (5.3.1)

Застосуємо тепер до контуру ADCBрівняння Максвелла:

, (5.3.2)

де – магнітний потік[22]⁾, що пронизує цей контур. Інтеграли на окремих відрізках контуру ADCB дорівнюють

, ,

,

, (5.3.3)

де – сумарний опір елементів проводів AD і СВ. У співвідношеннях (5.3.3) – напруга між точками D та C, – напруга між точками B та A. Тоді з (5.3.2) та (5.3.3) отримуємо

. (5.3.4)

Нагадаємо, що величини , і – це заряд, магнітний потік і опір одиниці довжини двопровідної лінії. Далі припускаємо, що опір дорівнює нулю. Використаємо тепер умову квазістаціонарності для поперечних характеристик системи. Позначимо через , відповідно ємність та індуктивність одиниці довжини лінії. Цівеличини знайдемо зі співвідношень

, . (5.3.5)

Вилучивши з рівнянь (5.3.1), (5.3.4) і та враховуючи, що , отримаємо

, (5.3.6)

. (5.3.7)

Вилучивши із системи рівнянь (5.3.6), (5.3.7) або силу струму, або напругу, отримаємо відповідні хвильові рівняння

. (5.3.8)

Це означає, що вздовж двопровідної системи Лехера поширюється хвиля струму та напруги з фазовою швидкістю

. (5.3.9)

Для тонких циліндричних проводів радіусом , відстань між якими дорівнює , індуктивність та ємність дорівнюють

, . (5.3.10)

Підставляючи (5.3.10) до (5.3.9), отримуємо

, (5.3.11)

де – швидкість світла у вакуумі. Таким чином, фазова швидкість поширення хвиль струму, напруги у двопровідній лінії збігається зі швидкістю поширення електромагнітних хвиль у вільному просторі.

Вище ми не вводили ніяких припущень про форму коливань і хвиль у системі Лехера. Будемо вважати далі, що коливання і хвилі гармонічні. У випадку біжучої хвилі струм та напруга коливаються в однакових фазах. Це безпосередньо випливає зі співвідношень (5.3.6), (5.3.7). Змінні струм, напруга створюють змінні електричне та магнітне поля. Неважко з’ясувати, що в біжучій хвилі вектори напруженості електричного та магнітного полів перпендикулярні до проводів, їх початкові фази коливань збігаються з відповідними фазами струму та напруги .