Опис експериментальної установки та методу дослідження. Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє зовнішня періодична сила

Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє зовнішня періодична сила.

Диференціальне рівняння вимушених коливань, наприклад фізичного маятника, має вигляд

, (5.2.1)

де – кут відхилення осі маятника від вертикалі; – коефіцієнт згасання; – коефіцієнт тертя; – момент інерції фізичного маятника відносно осі обертання; – власна частота коливань фізичного маятника; – маса маятника; – прискорення вільного падіння; – відстань від осі коливань до центра мас фізичного маятника; – зовнішній періодичний момент сил, який викликає вимушені коливання; – частота зовнішнього періодичного моменту сил.

Диференціальне рівняння вимушених коливань (5.2.1) є неоднорідним. Його розв’язок складається із двох складових: загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (тобто того самого рівняння, у якому права частина дорівнює тотожно нулю) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння:

. (5.2.2)

Загальний розв’язок однорідного рівняння (розв’язок диференціального рівняння загасальних коливань) описується формулою [2, 6]:

, (5.2.3)

де – частота загасальних коливань; , – сталі, які визначаються початковими умовами. Аналізуючи розв’язок (5.2.3), бачимо, що з часом прямує до нуля. Це означає, що він відіграє істотну роль лише на початковому етапі коливань, коли спостерігаються перехідні процеси.

Частинний розв’язок рівняння (5.2.1) визначається співвідношенням [2, 6]:

, (5.2.4)

де

, (5.2.5)

. (5.2.6)

Цей розв’язок описує коливання зі сталою у часі амплітудою.

Таким чином, на початковому етапі коливань спостерігаються перехідні процеси, що визначаються суперпозицією двох коливань: . Через деякий час перехідні процеси закінчуються ( прямує до нуля) і коливання визначаються лише ( ). Такі коливання (5.2.4)–(5.2.6) є усталеними вимушеними коливаннями.

Рисунок 5.2.1 – Резонансні криві для амплітуд коливань маятника

Проведемо дослідження амплітуди усталених вимушених коливань (5.2.5) залежно від частоти вимушених коливань за умови сталої амплітуди зовнішнього моменту сил . Виявляється, що зі зростанням частоти амплітуда також зростає, досягає різкого максимуму в області частот близьких до власної частоти коливальної системи , потім асимптотично прямує до нуля (рис. 5.2.1). Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань у коливальній системі, що відбувається при набли­женні частоти періодичного зовнішнього впливу до власної частоти системи , називається резонансом.

Частота, яка відповідає максимуму амплітуди вимушених коливань, називається резонансною частотою. Неважко знайти [2, 6], що резонансна частота дорівнює

. (5.2.7)

Аналіз резонансних кривих на рис. 5.2.1 показує, що зменшення коефіцієнта згасання призводить до більш різкого вираження максимуму кривої (ширина резонансної кривої зменшується). Розглянемо це питання докладніше.

Шириною DW резонансної кривої розуміють ширину кривої на висоті, що дорівнює . Знайдемо DW.

Спочатку визначимо максимальну (резонансну) амплітуду, підставивши значення резонансної частоти (5.2.7) у (5.2.5). У результаті цього отримуємо

. (5.2.8)

Позначимо через частоту, коли амплітуда зменшується в разів, тобто дорівнює (рис. 5.2.2). Використовуючи (5.2.5), отримуємо

. (5.2.9)

Рисунок 5.2.2 – Залежність амплітуди від частоти вимушених коливань (резонансна крива)

З (5.2.8) – (5.2.9) знаходимо два розв’язки для :

, . (5.2.10)

Звідси знаходимо ширину резонансної кривої (рис. 5.2.2)

. (5.2.11)

Таким чином, експериментально визначивши ширину резонансної кривої, можемо знайти коефіцієнт згасання

, (5.2.12)

логарифмічний декремент згасання

, (5.2.13)

добротність

. (5.2.14)

У формулах (5.2.13)–(5.2.14) – період загасальних коливань.

Рисунок 5.2.3 – Принципова схема установки: 1 – маятник-резонатор; 2 – пружина; 3 – масивний циліндр; 4 – маятник, що створює вимушені коливання; 5 – шкала; 6 – демпфувальний диск

Схема лабораторної установки наведена на рис. 5.2.3. Вона містить два фізичні маятники 1 та 4, що пов’язані між собою спіральною пружиною 2.

Один із маятників 4 складається з металевого стрижня та масивного циліндра 3. Циліндр 3 може переміщуватися вздовж металевого стрижня. Завдяки цьому можна змінювати період коливань маятника 4. Маятник 4 має масу набагато більшу за масу маятника 1. Він використовується для створення зовнішнього періодичного моменту сил, який викликає вимушені коливання маятника 1.

Маятник-резонатор 1 складається з легкого стрижня, на якому розміщено демпфувальний диск 6. Він коливається під дією зовнішнього періодичного моменту сил, що передається через спіральну пружину 2 від маятника 4. Стрижень маятника-резонатора 1 закінчується стрілкою, що рухається вздовж шкали 5. Шкала 5 дозволяє вимірювати амплітуду коливань маятника-резонатора 1 і досліджувати явище резонансу. Демпфувальний диск, що розміщено на маятнику-резонаторі 1, може встановлюватись у двох положеннях: паралельно та перпендикулярно до площини коливань. У другому положенні опір диска через рух у повітрі буде більшим, ніж у першому випадку.

Завдяки спіральній пружині 2 періодичний момент сил, що створюється маятником 4, передається на маятник-резонатор 1. Унаслідок цього виникають вимушені коливання маятника-резонатора 1. Амплітуда його коливань вимірюється за шкалою 5. Змінюючи положення масивного циліндра 3, змінюємо частоту коливань маятника 4 і відповідно частоту вимушених коливань.

Коливальні процеси у лабораторній установці описуються основним рівнянням обертального руху. Запишемо їх для обох маятників:

, (5.2.15)

. (5.2.16)

У цих рівняннях індексом «1» позначені величини, що характеризують маятник 1, індексом «2» – маятник 4 (рис. 5.2.3), є моментом інерції, є кутом відхилення маятника від вертикальної осі, – коефіцієнт тертя, – маса маятника, – відстань від осі обертання до центра мас, – коефіцієнт, що характеризує зв’язок двох маятників через спіральну пружину. У правій частині співвідношень (5.2.15)–(5.2.16) – момент сили опору, – момент сили тяжіння, – момент сили, що діє з боку одного маятника на інший.

Потрібно відзначити, що момент сил, який передається від маятника 4 до маятника-резонатора 1 (і навпаки), визначається різницею кутів відхилення (див. (5.2.15), (5.2.16)). Це збігається з якісними уявленнями: коли кути відхилення маятників від вертикальної осі однакові, спіральна пружина є недеформованою, і момент сил, який створюється нею, дорівнює нулю.

Підбираємо параметри установки так, щоб момент сили опору, який діє на маятник 4 ( ), та момент сили, з яким маятник-резонатор 1 діє на маятник 4 ( ), були малими порівняно з моментом сили тяжіння. Тоді цими доданками у (5.2.16) можна знехтувати. Рівняння (5.2.16) перетворюється у диференціальне рівняння гармонічних коливань, розв’язок якого має вигляд

, (5.2.17)

де . Зміна положення масивного металевого циліндра 3 (рис. 5.2.3) призводить до зміни відстані від осі обертання до центра мас , що, у свою чергу, приводить до зміни частоти коливань маятника 4.

Підставимо (5.2.17) у співвідношення (5.2.15) і отримаємо для маятника 1 диференціальне рівняння вимушених коливань

, (5.2.18)

властивості якого були описані вище у цій лабораторній роботі (порівняти з рівнянням (5.2.1)).

Можна знайти точний розв’язок системи рівнянь (5.2.15)–(5.2.16) (див. [6]). З точного розв’язку випливає, що маятник-резонатор 1 коливається з амплітудою, яка повільно періодично змінюється. При цьому максимальне значення повільно змінної амплітуди визначається співвідношенням (5.2.5).

Таким чином, лабораторна установка дозволяє експериментально дослідити залежність амплітуди коливань маятника-резонатора 1 від частоти зовнішнього періодичного джерела (маятника 4). Отримавши резонансні криві для амплітуд коливання, вимірюємо ширину резонансних кривих , а потім обчислюємо інші параметри коливальної системи.