НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА
Теорема. Для любой случайной величины X с mx, Dx выполняется следующее неравенство где e>0.
Доказательство:
1. Пусть величина Х – ДСВ. Изобразим значения Х и Мх в виде точек на числовой оси Ох
0 х1 А Мх В
Вычислим вероятность того, что при некотором величина Х отклонится от своего МО не меньше чем на ε:
.
Это событие заключается в том, что точка Х не попадет на отрезок [mx-ε, mx+ε], т.е.
--
для тех значений x, которые лежат вне отрезка [mx-ε, mx+ε].
Рассмотрим дисперсию с.в. Х:
.
Т.к. все слагаемые – положительные числа, то если убрать слагаемые, соответствующую отрезку [mx-ε, mx+ε], то можно записать:
,
т.к. , то неравенство можно усилить
Þ Þ
2. Для НСВ:
- это интегрирование по внешней части отрезка [mx-ε, mx+ε].
Применяя неравенство и подставляя его под знак интеграла, получаем
.
Откуда и вытекает неравенство Чебышева для НСВ.
Следствие. - это 2-е неравенство Чебышева.
Доказательство: События и - противоположны Þ .
1. Лемма:Пусть Х –СВ, e>0 – любое число. Тогда
Доказательство:
,
Т.к. .
Следствие. .
Д-во: Полагаем, вместо св Х – св Х-М(Х), т.к. М( Х-М(Х))2=D(X) и получаем неp-во.
Следствие: (правило трех сигм для произвольного распределения):
Полагаем в неравенстве Чебышева , имеем
.
Т.е. вероятность того, что отклонение св от ее МО выйдет за пределы трех СКО, не больше 1/9.
Неравенство Чебышева дает только верхнюю границ вероятности данного отклонения. Выше этой границы - значение не может быть ни при никаком распределении.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1340;