Диаграмма направленности, описываемая полиномом Чебышева

Антенна с оптимальной диаграммой направленности представляет собой решетку излучателей, размещенных на постоянном расстоянии друг от друга. На рис. 4.3,а

изображена схема линейной антенны с четным числом излучателей 2N, на рис. 4.3,6 — с нечетным числом 2N+1. На рисунке показано расположение излучателей, их нумерация и система координат.

Если все излучатели питаются синфазно, то луч на правлен по нормали к линии расположения излучателей ( ). Как обычно, диаграмма направленности сложной антенны определяется произведением двух множителей: диаграммы одного элемента на множитель решетки

Диаграмма одного элемнта практически всегда ши­рокая, поэтому диаграмма направленности систёмы в основном определяется множителем решетки. В даль­нейшем рассматривается методика расчета только одно­го множителя решетки , хотя при окончательном расчете диаграммы направленности ее надо рассчиты­вать по формуле (4.7).

Если луч направлен по нормали ( ), то расстоя­ние между излучателями d должно выбираться из усло­вия

Выполнение неравенства необходимо для того, что­бы диаграмма направленности имела один максимум.

Левое неравенство присуще именно оптимальной антен­не.

При d< /2 распределение тока в антенне сущест­венно усложняется. Токи в излучателях становятся большими по амплитуде и знакопеременными по фазе и при значительной- уменьшении расстояния d по сравне­нию с можно, получить сверхнаправленную антенну.

Придадим полиному Чебышева вид диаграммы на­правленности, для чего заменим переменные

Здесь —коэффициент фазы, остальные обозначения

ясны из рис. 4,3. Тогда множитель решетки будет опи­сываться формулами:

при четном числе излучателей 2N

при нечетном числе излучателей 2N + 1

Наивысшая степень полинома m всегда на еденицу меньше числа излучателей.Нормируем диаграмму направленности.Тогда уро­вень боковых лепестков будет

Часто уровень боковых лепестков выражают в деци­белах:

Положение максимумов боковых лепестков определяется по формуле

Положение нулей диаграммы можно найти из выражения

Здесь р — порядковый номер нуля или максимума.

Половина ширины главного лепестка на нулевом уровне получится из (4.14), если положить р = 1:

Ширииу диаграммы направленности на уровне поло­винной мощности можно определить по одной из фор­мул

Здесь L — длина антенны.

Для облегчения расчетов- по формуле (4.16) 'На рис. 4.4 приведена номограмма- связывающая между со­бой половину ширины луча на уровне половинной мощ­ности, расстояние между излучателями и уровень боко-

вых лепестков [Л2]. Порядок (пользования номограммой поясняется ключом, приведенным на том же рисунке.На рис. 4.5 приведены зависимости ширины диаграм­мы направленности на уровне половинной мощности от длины антенны при различном уровне боковых лепест­ ков, рассчитанные по формуле (4.17). На этом рисунке хорошо видно,
что с уменьшением уров-
ня боковых лепестков
расширяется главный ма-
ксимум; и чем длиннее ан-
тенна, тем больше это
расширение.Важным параметром
антенны с Оптимальной
даграммой является па-
раметр а. Из формул
(4.12), (4.14) следует, что
при известном числе излу-
чателей (степени поли-

нома т) а определяет уровень боковых лепестков и ширину луча.

Если задан уровень боковых лепестков q, то пара­метр а определяется по одной из следующих формул:

При большом числе излуча­телей и большой величине 1/q справедливо прибли­женное равенство

На рис.4.6 представлены зависимости уровня боковых лепестков от параметра а при различном числе излучателей, рассчитанные по формуле (4.19) {Л5]. Из рисунка следует, что чем больше а, тем меньше уровень боковых лепестков.

Токи в излучателях вычисляются по формулам: при четном числе излучателей 2N

при нечетном числе излучателей 2N+1

Формулы (4.23),. (4.24) удобны для расчета най ЭВМ.

Однако при большом чис­ле излучателей расчет то­ков по. этим формулам ста­новится весьма громоздким,. Для облегчения расчетёв в табл. 4.1 приведены вычис­ленные по (Этим формулам относительные величины то­ков в излучателях- при раз­ном уровне боковых лепест­ков и различном числе из­лучателей |Л2].

Если число излучателей превышает 20, то токи в них можно вычислить по при­ближенной формуле, которая обеспечивает точность в несколько процентов;

Здесь L — общая длина антенны; zn — расстояние от начала координат до n-го излучателя.Формула (4.25) позволяет просто определить токи во всех излучателях, кроме крайних.Токи в крайних излучателях определяются через токи в предпоследних излучателях:

при четном числе излучателей 2N

Для облегчения расче­тов на рис. 4.7 приведена зависимость коэффициен­тов C1 и С2 от уровня бо­ковых лепестков q.

Амплитудное распре­деление тока вдоль ан­тенный с оптимальной диа­граммой существенно «не- равномерное. Соответст­венно ширина луча. всег­да больше, чем у обыч­ной синфазной антенны с одинаковыми токами в излучателях. Для при­мера на рис. 4.8 приведе­но отношение синусов половины ширины луча на нулевом уровне опти­мальной антенны и ан­тенны с равномерным амплитудным распределением в зависимости от параметра а, т. е. от уровня боковых лепест­ков.

Из рис. 4.8 следует, что, чем меньше уровень бо­ковых лепестков (боль­ше а), тем больше разни­ца в ширине диаграмм.

К. н. д. -оптимальных антенн :так же . всегда меньше, чем у антенн с одинаковыми токами в излучателях. Боковые ле­пестки. хотя имеют и ма­лую величину, но их много и все -они одинаковой амплитуды. Соответственно доля мощности, рассеиваемая боковыми лепестками, ока­зывается большой.

К. н. д. антенны с оптимальной диаграммой вычисляется по известным токам в излучателях. Однако этот расчет весьма громоздок и здесь не приводится. Расчет К. н. д. можно найти в [ЛЗ]. Ориентировочно величину к. н. д: линейной решетки, состоящей из ненаправленных излучателей, можно оценить по формуле

Для примера на рис. 4.9 приведена диаграмма на­правленности оптимальной антенны, состоящей из 12 изо­тропных излучателей, размещенных на расстоянии К/2 друг от друга. Уровень боковьгх лепестков тавляет q_d6 = —20 дб, что соответствует а=1,037. Уравнение,описывающее эту диаграмму, имеет вид

Диаграмма направленности, изображенная на рис. 4.9, представляет собой, по сути дела, график полинома Тн (ах), представленный на рис. 4.2, только аргументом функции Т₁₁ здесь является не переменная х, а угол 0.