Первая теорема Чебышева.

 

Теорема. При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

Доказательство: Рассмотрим величину Y равную

.

Определим числовые характеристики Yn my и DY.

Запишем неравенство Чебышева для величины Yn

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое число. Тогда

.

Переходя к противоположному событию:

Т.е. вероятность может быть сколь угодно близкой к 1.

1.4.2. Вторая теорема Чебышева:

Теорема. Если Х1.....Хn – последовательность попарно независимых СВ с МО mx1....mxn и дисперсиями Dx1..Dxn ограничены одним и тем же числом Dxi<L (i=1..n ) , L=const, тогда для любого e, d>0 – бесконечно малых

или

Доказательство: Рассмотрим СВ

.

Применим к Y неравенство Чебышева:

или

Заменим:

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое.

Т.е., взяв предел при n®¥ от обеих частей и получаем:

(так как вероятность не может быть больше 1).

 

Пример1.1. Производится большое число n независимых опытов, в каждом из которых некоторая случайная величина имеет равномерное распределение на участке [1,2]. Рассматривается среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X. На основании Закона больших чисел выяснить, к какому числу а будет приближаться величина Y при n→∞. Оценить максимальную практически возможную ошибку равенства Y≈a.

Решение. .

.

.

Максимальное практически возможное значение ошибки .








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 964;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.