Модели экономической динамики. Описание моделей экономической динамики

Проблемы рыночного взаимодействия близки к проблемам теории игр и могут быть эффективно описаны и исследованы в ее терминах.

Предположим следующую ситуацию [9]. На рынке некоторого продукта доминирует производитель-монополист (Фирма 1), и монопольное положение приносит ему 12 млн. руб. прибыли. Высокая прибыль в данном секторе привлекает других производителей. Фирма 2 решает вопрос: построить ли ей свой завод и начать на нем производство такого же товара? Однако ей известно, что Фирма 1 может предпринять некоторые действия в ответ на вторжение. С одной стороны, Фирма 1 может снизить объем своего производства, уступая часть рынка Фирме 2 и деля с ней получаемую прибыль. В этом случае каждая из фирм получит по 6 млн. руб. прибыли.

С другой стороны, Фирма 1 может сохранить объем своего производства. В этом случае рост совокупного предложения товара Фирмами 1 и 2 снизит цену на этот товар, и, как следствие, прибыль Фирмы 1 может снизиться до 5 млн. руб. Одновременно снижение цен приведет к тому, что Фирма 2, сделавшая предварительные затраты для выхода на новый для нее рынок, понесет чистые убытки: она потеряет на этом деле 2 млн. руб. В случае, если Фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, она ничего не выигрывает и не проигрывает, а Фирма 1 продолжает получать монопольную прибыль в 12 млн. руб. Если же Фирма 1 вдруг решит в этой ситуации снизить объем своего производства, ее прибыль упадет до 8 млн. руб.

Описанная ситуация может рассматриваться как неантагонистическая игра двух лиц быть и может быть описана следующей матрицей выигрышей (первыми указаны выигрыши Фирмы 1 в млн. руб.):

Стратегия Фирмы 2	Стратегия Фирмы 1 Сохранить объем Снизить объем производства производства
Выйти на рынок Не выходить на рынок

Данная игра по своим условиям отличается от уже рассмотренных игр. Если ранее мы предполагали, что игроки принимают свои решения одновременно, не зная о решении партнера, то в данной игре Фирма 1 принимает решение, уже зная о решении, избранном Фирмой 2, что в корне меняет ситуацию.

Игры подобного типа, где задается последовательность принятия решений игроками, называются позиционными играми.

Возникает вопрос: реализация какой из этих двух стратегий наиболее вероятна? Фирма 2, которая должна сделать первый шаг, при выборе своей стратегии может рассуждать так. "Если мы не вступим на рынок со своей продукцией, то в любом случае мы ничего не потеряем. С другой стороны, если мы решим внедриться на рынок, не исключено, что Фирма 1 сохранит объем своего производства, и для нас это обернется потерями в 2 млн. руб.!" Следуя принципу максимизации своего минимального выигрыша, Фирма 2 должна была бы избрать стратегию "Воздержаться от вступления на рынок".

Эти рассуждения не учитывают одной из главных предпосылок теории игр - предположения о рациональном поведении игроков, стремящихся к максимизации своих выигрышей. В данном случае это заставляет менеджеров Фирмы 2 задать себе вопрос: "А насколько вероятна реализация Фирмой 1 стратегии сохранения объема производства, если мы вторгнемся на рынок?" Ведь в этом случае Фирма 1 получит меньшую прибыль (5 млн. руб.), чем в случае, если она снизит объем своего производства и поделится частью рынка с нами, получив при этом 6 млн. руб." В итоге, учитывая, что Фирма 1 будет вести себя рационально, ее ответом на вступление Фирмы 2 на рынок должно стать снижение объема своего производства, а не реализация угрозы сохранить прежний объем производства и подавить Фирму 2.

Проблемы рынка эффективно можно исследовать с помощью построения дерева решений с оценкой возможных результатов в вероятностных терминах.

Основные элементы задачи принятия решения допускают следующую формализацию[29-31]:

· задается множество А, называемое пространством действий, которое состоит из всех действий , доступных лицу, принимающему решения (ЛПР);

· задается множество T, называемое пространством параметров, состоящее из всех возможных "состояний Природы" (поведение конкурентов, рыночная ситуация и др.) , из которых реализуется одно и только одно (это истинное состояние Природы неизвестно ЛПР в момент, когда нужно принять решение);

· задается функция , называемая функцией потерь с областью определения (множество всех пар , , ) и областью значений R (вещественная прямая); пара называется последствием (от принятия решения a, если истинное состояние природы есть );

· наблюдается случайная величина Х, возможные реализации которой образуют выборочное пространство X и распределение которой задается плотностью распределения вероятностей, принадлежащей заданному семейству ;

· определяется множество D, называемое пространством решений и состоящее из всех отображений d множества X в A.

Описанный формализм можно интерпретировать следующим образом.

В момент выбора действия ЛПР не знает истинное состояние природы и поэтому ему неизвестны истинные последствия его действия (если ЛПР изберет действие , то истинное последствие неизвестно, поскольку неизвестно). Однако ЛПР знает ущерб при каждом возможном последствии , определяемом его выбором действия и состоянием природы (конечно, "ущерб" может быть и "выигрышем"; в этом случае численное значение, приписанное функции , должно быть отрицательным, либо мы можем работать не с функцией потерь, а с функцией выигрыша или полезности).

Чтобы уменьшить неопределенность относительно , ЛПР получает информацию в виде наблюдений случайной величины X, распределение которой зависит от параметра . Зная, что Х = х, и зная вид плотности распределения вероятностей , ЛПР может извлечь информацию относительно состояния, которая поможет ему в выборе общей стратегии, определяющей выбор для каждого Х = х.

Формально ЛПР выбирает действие на основе имеющегося наблюдения . Выбор общей стратегии, определяющей для каждого
Х = х действие , эквивалентен выбору решающей функции .

Функция d определяет действие, предпринимаемое ЛПР при всех возможных Х = х.

Таким образом, теорию принятия решений можно считать наукой о том, как выбирать решающую функцию d из пространства решений D.

При оценивании положим A = T (обычно это - вещественная прямая или подмножество прямой), поскольку в данном случае действие состоит в выборе значения параметра (т.е. оценки). Вид функции потерь зависит от практических особенностей моделируемой задачи, но наиболее типичными являются функции вида или .

Решающая функция d: обычно называется процедурой оценивания, а ее значение является оценкой параметра по заданным данным

Х = х.

При проверке гипотез пространство параметров T представляется в виде двух непересекающихся множеств T₀ и T₁: . Множество A в этом случае содержит всего два элемента А = {a₀, a₁}, определенные таким образом, что действие a₀ состоит в отклонении гипотезы , а действие a₁ - в отклонении гипотезы . Функция потерь зависит от природы множеств T₀ и T₁.

При проверке простой нулевой гипотезы против простой альтернативной гипотезы пространство параметров также состоит из двух точек , и можно, например, положить (поскольку в этом случае предпринимается правильное действие). Выбор двух других значений и должен отражать относительную важность ошибок 1 и 2 рода.

Одним из интенсивно развивающихся направлений прикладной статистики является теория последовательного принятия решений.

Рассмотрим такую задачу. Предпринимается начальное действие и после этого Природа оказывается в неопределенном состоянии ; затем предпринимается дальнейшее действие , приводящее к неопределенному состоянию , и в итоге получаем последствие . Каким образом исследователь должен подходить к задаче выбора начального действия?

Описанная ситуация изображена на рис.12.1, где квадратами обозначены точки принятия решений (в которых исследователь выбирает действие), а кружками - точки неопределенности (в которых выясняется неконтролируемое состояние Природы).

Рис.12.1. Схема "двухэтапной" последовательной задачи принятия решений

Предположим, что конечному последствию приписана определенная полезность . Конечный веер возможных исходов, исходящий из точки неопределенности, вообще говоря, может быть непрерывным диапазоном как решений, так и исходов.

Суть проблемы последовательного принятия решений состоит в том, что мы не можем разумно решить, что делать на начальной стадии, пока не продумаем все возможные последствия . Поэтому мы начинаем с правого конца дерева и спрашиваем, что бы мы хотели сделать во второй точке принятия решений, если первоначально было выбрано действие , а исход оказался . Такой подход приводит к дереву, изображенному на рис.12.2.

Рис.12.2. Модификация рис.12.1 для случая, когда известно,
что исходом на начальном этапе является

При данном выборе распределение вероятностей для неизвестного второго исхода имеет вид .

Используя для удобства интегральную форму (соответствующую непрерывному диапазону изменения), можно записать условие, определяющее оптимальное действие и ожидаемую полезность, в виде

.

Таким образом, для данных и определена максимальная полезность. Ситуацию, с которой исследователь встретился на первом этапе, можно теперь изобразить так, как это показано на рис.12.3.

Рис.12.3. Решение на первом этапе
(в предположении оптимальности решения на втором)

Отсюда видно, что полное решение задачи определяется из условия

.

Очевидно, что для n-шаговой задачи структура решения остается такой же. Начиная с правой стороны дерева и проходя последовательно через вершины неопределенности и решения, мы будем повторять процедуры взятия математического ожидания и максимизации.

При использовании этой процедуры возникают сложности. Во-первых, заметим, что в ней неявно используются все возможные "предыстории" процесса (т.е. все комбинации действий, которые можно было предпринять, и исходов, которые могли быть). Во-вторых, распределение вероятностей исходов на данной стадии должно быть условным по отношению к предшествующей истории процесса. При этом вычисления могут стать очень сложными, если только структура задачи не позволяет упустить возникающие рекуррентные формулы.

В случае конечных множеств действий и исходов задачи могут быть описаны и решены при помощи стандартного простого подхода с использованием дерева решений.

Проиллюстрируем применение дерева решений на одной частной задаче.

Пример 12.1. Предположим, что некая компания рассматривает вопрос о небольших капиталовложениях, которые могут оказаться выгодными, если спрос на определенный вид производственной продукции возрастет, и напрасными, если он упадет. Компания может либо сразу принять решение, вкладывать ли капитал, либо заказать исследование рынка, чтобы лучше оценить относительное правдоподобие подъема или падения спроса. Пусть отчет об исследовании рынка просто содержит прогноз - спрос возрастет или спрос упадет, а конечный исход (состояние Природы) можно описать, сказав, что спрос действительно возрос или действительно упал.

Решение. В ранее принятых обозначениях имеем:

= {обследовать рынок, вкладывать капитал, не вкладывать капитал};

= {спрос возрос, спрос упал};

= {прогноз "подъема", прогноз "падения"}.

Теперь следует ввести вероятности для всех неопределенных исходов. Предположим, что справедливы следующие утверждения. Известно, что прогнозы, выдаваемые компанией, исследующей рынок, оправдываются на 80 % в случае подъема спроса и на 65 % - в случае падения.

Это значит, что в наших обозначениях

.

Предположим, что первоначально (т.е. без дополнительной информации об исследовании рынка) компания считает, что шансы на подъем спроса равны 70 %, так что .

На самом деле компании нужна прямая оценка вероятностей неопределенного исхода, которую можно получить простым вычислением, если она закажет исследование рынка:

;

.

Чтобы пересмотреть вероятности и на основании заданной информации об исследовании рынка, воспользуемся теоремой Байеса

;

;

;

.

Для дальнейшего нужно знать полезность различных исходов.

Предположим, что в рассматриваемом диапазоне компания считает функцию полезности денег примерно линейной.

Предположим также, что если спрос возрастет, то в результате капиталовложений чистый выигрыш компании составит 163500 (в тысячах рублей), а если спрос упадет - то 136500; если же отказаться от капиталовложений, то ожидаемый чистый выигрыш компании составит 150000. Стоимость обследования рынка равна величине С.

На рис.12.4. показано дерево решений со всей дополнительной числовой информацией.

Начиная с правого края дерева, можно вычислить ожидаемые эффекты полезности.

Результаты этих вычислений для ветви решения показаны на рис.12.5, где, например:

;

Рис.12.4. Задача о капиталовложениях с вероятностями и доходами

Рис.12.5. Первый шаг (вычисление ожидаемого выигрыша) для ветви

Применяя принцип максимизации ожидаемого выигрыша, мы видим, что при прогнозе оптимальным будет действие , а при прогнозе оптимальным будет действие . Это приводит к рис.12.6.

Снова вычисляя ожидаемый выигрыш, получим, что для он равен

.

Ожидаемые выигрыши для и составляют соответственно:

;

.

Чтобы выбрать начальное решение следует сравнить ожидаемые выигрыши так, как показано на рис.12.7.

Рис.12.6. Второй шаг (максимизация выигрыша) для ветви

Рис.12.7. Ожидаемые выигрыши при разных исходных действиях

Теперь ясно, что никогда не следует выбирать действие и что предпочтительнее, чем , только если плата за исследование рынка не превышает величины 740.61 тыс. руб..