Определение координат точек методом засечек
2.1.6. Прямая угловая засечка
Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).
Рис.2.6
Исходные данные: XA, YA, αAC,
XB, YB, αBD
Измеряемые элементы: β1 , β2
Неизвестные элементы: X , Y
Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .
Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:
вычислить дирекционные углы линий AP и BP
(2.14) ,
(2.15)
написать два уравнения прямых линий
для линии AP Y - YA= tgα1 ∙ (X - XA),
для линии BP Y - YB= tgα2 ∙ (X - XB) (2.16)
решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:
(2.17) ,
(2.18)
Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.
Рис.2.7
Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:
решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB,
вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,
(2.19)
используя теорему синусов для треугольника APB:
(2.20)
вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,
вычислить дирекционные углы α1 и α2:
(2.21)
решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.
Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:
(2.22)
От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B
∟BAP = αAB - (αAC + β1) и ∟ABP = (αBD + β2) - αBA .
Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:
вычисление дирекционных углов α1 и α2 ,
введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):
X'A = 0 , Y'A = 0 ,
(2.23) ,
(2.24) ,
запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y' :
(2.26)
Рис.2.8
и совместное решение этих уравнений:
(2.27)
перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:
(2.28)
Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.
2.1.7. Линейная засечка
От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .
Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).
Исходные данные: XA, YA, XB, YB,
Измеряемые элементы: S1, S2,
Неизвестные элементы: X, Y.
Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.
Рис.2.9
Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:
решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:
(2.29)
вычисление угла засечки γ
(2.30)
вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:
пункт P справа от линии AB
(2.31)
пункт P слева от линии АВ
(2.32)
решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:
1-е решение
(2.33)
2-е решение
(2.34)
Результаты обоих решений должны совпадать.
Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:
решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':
(2.35)
запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':
(2.36)
и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:
(2.37)
откуда
(2.38)
и
(2.39)
Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак «-», если справа, то «+».
пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):
(2.40)
2.1.8. Обратная угловая засечка
К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.
Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).
Рис.2.10
Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:
(2.41)
Уравнение окружности имеет вид:
(2.42)
где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.
Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.
Исходные данные: XA, YA, XA,
YB, XC, YC;
Измеряемые элементы: β1, β2.
Неизвестные элементы: X, Y.
Рис.2.11
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.
Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):
(2.43)
Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.
Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.
Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.
Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.
2.1.9. Комбинированные засечки
В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.
На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.
Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.
При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.
Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 6386;