Операции над графами
Рассмотрим операции над графами.
I. Бинарные операции.
1. Объединение графов. Рассмотрим графы и . Объединение графов и , обозначаемое как , представляет собой такой граф , что множество его вершин является объединением и , а множество ребер – объединением и .
2. Пересечение графов. Пересечение графов и , обозначаемое как , представляет собой граф . Таким образом, множество вершин графа состоит только из вершин, присутствующих одновременно в графах и , а множество ребер графа состоит только из ребер, присутствующих одновременно в графах и .
3. Кольцевой суммой графов G1 и G2 называется граф , где .
Замечание. Объединение, пересечение и другие операции над ориентированными графами определяются точно также, как и в случае неориентированных графов.
Пример. Для графов G1 =({x1, x2, x3}, {(x1,x2), (x2,x3)}) и G2=({x1,x2,x4}, {(x1,x2), (x4,x1)}) (рис. 4.17) найдем , , . По определению имеем
=({x1,x2,x3,x4},{(x1,x2), (x2,x3) ,(x4,x1)}),
=({x1,x2}, {(x1,x2)}),
=({x1,x2,x3,x4}, {(x2,x3), (x4,x1)}).
4. Соединением графов G1+G2 называется граф {(xi, xj) | xiÎX1, xjÎX2, xi ¹ xj}).
Пример. Для графов G1 и G2, показанных на рис. 4.18а, соединением G1+G2 является граф, представленным на рис. 4.18б.
5. Произведением графов G1 и G2 называется граф , в котором ((x1, y1), (x2, y2))ÎV тогда и только тогда, когда x1=x2 и (y1, y2)ÎV2, или y1=y2 и (x1, x2)ÎV1.
Пример. На рис. 4.19 изображено произведение графов G1=({1, 2}, {(1, 1), (2, 1)}) и G2 = ({a, b, c},{(a, b), (b, a), (b, c)}).
II. Унарные операции.
1. Удаление вершины. При удалении вершины из графа удаляются и все инцидентные ей ребра (дуги).Пусть – граф и . Удалить вершину x из графа G – это значит построить новый граф , в котором и получается из V удалением всех ребер, инцидентных вершине x. Пример удаления вершины x из графа:
До удаления вершины x После удаления вершины x
2. Удаление ребра (дуги). Пусть – граф и . Удалить ребро (дугу) v – это значит построить новый граф , в котором и . Вот иллюстрация удаления ребра графа:
До удаления ребра v. Послеудаления ребра v
При удалении ребра (дуги) его концевые вершины не удаляются. Операцией, являющейся обратной к удалению ребра, является добавление ребра.
3. Слияние или отождествление вершин. Говорят, что вершины и в графе G отождествляются (сливаются), если они заменяются такой новой вершиной , что все ребра (дуги) графа, инцидентные и , становятся инцидентными новой вершине .
4. Стягивание ребра (дуги). Эта операция означает удаление ребра и отождествление его концевых вершин. Граф G1 называется стягиваемым к графу G2, если граф G2 может быть получен из G1 в результате некоторой последовательности стягиваний ребер.
Пример. Из графа G, показанного на рис. 4.20, добавлением вершины 5 образуется граф G1, добавлением дуги (3,1) – граф G2, удалением дуги (3,2) – граф G3, удалением вершины 2 – граф G4, отождествлением вершин 1 и 4 – граф G5, стягиванием дуги (2,3) – граф G6.
5. Подразбиение ребра. Пусть – граф и . Выполнить подразбиение ребра v – это значит построить новый граф , в котором (т.е. z – некая новая вершина) и . С графической точки зрения эта операция означает «внесение в ребро новой вершины». Вот графическая иллюстрация:
xx
Z
Y y
До внесения вершины z После внесения вершины z
Граф называется дополнением простого графа, если ребро (xi, xj) входит в в том и только в том случае, если оно не входит в V. Другими словами, две вершины смежны в тогда и только тогда, когда они не смежны в G.
Пусть G’=(X’,V’) является подграфом графа G=(X,V). Подграф G’’=(X,V \V’) графа G называется дополнением графа G’ в графе G.
Дата добавления: 2015-04-10; просмотров: 17027;