Свойства арифметической средней

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Доказательство:

Для взвешенной средней справедливо следующее свойство: сумма взвешенных отклонений равны нулю. Попробуйте доказать это свойство самостоятельно.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя величина увеличиться или уменьшиться во столько же раз.

Доказательство:

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого индивидуального признака вычесть постоянное число, то средняя величина возрасте или уменьшится на это же число.

Доказательство:

Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующихся значений признака, например роста группы лиц: х₁ = 179 см, х₂ = 183 см, х₃ = 171 см, х₄ = 180 см, х₅ = 169 см. Для вычисления среднего роста из каждого значения вычитаем 170 см и находим среднюю из остатков: (9 + 13 + 1 - 1) : 5 = 6,4. Средний рост = 6,4 + 170 = 176,4 см.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, то средняя величина не изменится.

Доказательство:

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать все веса на их общий множитель или выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Доказательство:

(везде сумма i =1 до n )

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

Чтобы найти экстремум этой функции, нужно её производную по а приравнять к нулю:

Отсюда имеем:

Таким образом, экстремум функции достигается в при а= . Так как мы видим, что наша функция - это квадратичная функция и представляет собой параболу, то ясно, что максимум она иметь не может. Следовательно, данный экстремум является минимумом.