Пересечение прямой с плоскостью

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на нее в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) находится и проекция точки пересечения некоторой прямой с заданной плоскостью.

На рис. 70 а, б фронтальная проекция точки пересечения прямой АВ с плоскостью S (CDE) и Q определяется: К₂ = А₂В₂ Ⴖ С₂D₂E₂, а К₁ Î А₁В₁; К₂ = А₂В₂ Ⴖ Q₂, а К₁ Î А₁В₁;

Так как прямая АВ в направлении от К к В находится под плоскостью S и Q, то на чертеже часть горизонтальной проекции К₁В₁ проведена штриховой линией.

На рис. 71 показано построение точки К пересечения прямой а (АВ) с плоскостью Q (CDE). Для этого прямая а заключена в плоскость S и определена линия пересечения плоскостей S и Q: MN = Q Ⴖ S .

Прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости S и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости Q (CDE), то точка К является точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью Q (CDE).

Рис. 71 Задачу на пересечение прямой с плоскостью общего положения необходимо решать по следующей схеме (рис. 72):

1. Через данную прямую АВ необходимо провести вспомогательную плоскость частного положения (S - горизонтально проецирующая плоскость).

2. Построить линию пересечения МN ( М₁N₁, М₂N₂ ) данной плоскости CDE и вспомогательной S.

3.

4. Определить видимость взаимного пересечения. Для определения видимости взаимного пересечения прямой и плоскости воспользуемся методом конкурирующих точек.

Прямые АВ и CD скрещиваются. На плоскости проекций П₂ эти прямые имеют совпадающие проекции точек 1₂≡2₂. По расположению горизонтальных проекций точек 1₁ и 2₁ заключаем, что точка 1 расположена ближе к наблюдателю, поэтому участок прямой 2К находится за плоскостью треугольника CDE и на фронтальной проекции будет невидим. Аналогично определяем видимость взаимного пересечения и на горизонтальной плоскости проекций. Прямые АВ и DЕ скрещиваются. На плоскости проекций П₁ эти прямые имеют совпадающие проекции точек 3₁≡4₁ . По расположению фронтальных проекций точек 3₂ и 4₂ заключаем, что точка 4 расположена выше точки 3, поэтому участок прямой 3К находится под плоскостью треугольника CDE и на горизонтальной проекции будет невидим.

На рис. 73 показан пример определения точки К пересечения прямой АВ с плоскостью S , заданной следами.

Рис. 72 Рис. 73

Прямую АВ заключаем во фронтально проецирующую плоскость Q:

Q Ì АВ, Q ^ П₂ , Q₁ ^ Х₁ , Q₂ ≡ А₂В₂ и определяем линию пересечения MN плоскостей S и Q (MN = S Ⴖ Q ). Линия пересечения плоскостей проходит через точки пересечения одноименных следов этих плоскостей (M = S₁ Ⴖ Q₁, N = S₂ Ⴖ Q₂ ). Точка пересечения прямых АВ и MN и есть искомая точка пересечения прямой АВ с плоскостью S. Видимость пересечения определена методом конкурирующих точек.

Контрольные задания по теме “Плоскость”

1. Через точку К, принадлежащую плоскости Р, провести линию наибольшего наклона к плоскости проекций П2. Определить Н.В этой линии.                   P2       K2     x1,2 P1 K1

2. Через прямую АВ провести фронтально проецирующую плоскость под углом 300 к плоскости П1.   A2 º B2 B1 x1,2 A1

3. Записать название плоскости треугольника АВС. Определить удаление от плоскости проекций П1 точки пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС.

4. Найти точку пересечения прямой MN c плоскостью S (т.К). Определить и записать ее удаление от плоскости П1. Какие из отрезков будут видимы: К2N2 или К2M2, и К1N1 или К1М1? x12 N1 M1 S1 S2 N2 M2

5. Построить линию пересечения плоскостей и определить угол наклона этой линии к плоскости П1.

6. Построить горизонтальную проекцию M1N1 отрезка MN при условии его параллельности плоскости треугольника АВС. Определить угол наклона отрезка MN к плоскости проекций П2.

7. x12 A1 S1 S2 A2 Определить расстояние от точки А до плоскости S.

8. Через прямую MN провести плоскость, перпендикулярную заданной, определить угол наклона построенной плоскости к плоскости проекций П1.

		l1

Рис. 74 Рис. 75

Строим перпендикуляр ℓ(ℓ₁, ℓ₂) из точки S (S₁, S₂) на плоскость S (АВС): ℓ₁^ h₁; ℓ₂≡ ^ ¦₂: далее находим точку К (К₁К₂) пересечения перпендикуляра ℓ с плоскостью S:

ℓ Ì Q, Q ^ П₂ , Q₂ ≡ ℓ₂, К = ℓႶ 12, (К₁ = ℓ₁Ⴖ 1₁2₁; К₂Îℓ₂). Расстояние от точки S до плоскости S равно натуральной величине отрезка ÷ SК÷, т.е. S₀ К₁ .

Пример 2. Определить построением параллельность прямой MN и плоскости Q (АВС) (рис.75).

Прямая будет параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, принадлежащей этой плоскости. Обязательно должно соблюдаться условие: прямые будут параллельны, если на чертеже их одноименные проекции параллельны.

Для этого строим на плоскости П₂ (можно П₁) прямую t₂ ‖ M₂ N₂, t Î АВС. Так как t₁ ∦ M₁ N₁ , можно сделать вывод, что прямая MN не параллельна заданной плоскости Q (АВС).