Позиционные и метрические задачи
К позиционным задачам относятся задачи на определение общих элементов различные геометрических образов. Это задачи, где требуется установить взаимное положение и взаимную принадлежность рассматриваемых геометрических форм: найти точку на линии или плоскости (поверхности), найти точку пересечения прямой линии с плоскостью (поверхностью) или линию пересечения плоскостей (поверхностей) и т.д. Некоторые из этих задач рассматривались в предыдущих разделах. Среди различных позиционных задач можно выделить две основные задачи: пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения и пересечение плоскостей общего положения. При решении позиционных задач не рассматриваются метрические свойства элементов, т.е. те свойства, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения. Параллельность геометрических образов является частным случаем их пересечения, т.к. параллельные прямые пересекаются в несобственной точке, а параллельные плоскости – по несобственной прямой.
Метрическими будем называть задачи, решение которых связано с определением, измерением линейных и угловых размеров геометрических образов.При ортогональном проецировании различные геометрические образы, произвольно расположенные в пространстве, проецируются на плоскости проекций с искажением, при этом искажаются их линейные и угловые характеристики. Определение неискаженных величин линейных и угловых характеристик геометрических образов, произвольно расположенных в пространстве, по их проекциям и есть решение ряда метрических задач.
Все метрические задачи можно разделить на три группы:
1. Определение расстояний между двумя точками, точкой и прямой, двум параллельным прямым, скрещивающимися прямыми, точкой и плоскостью, двумя параллельными плоскостями;
2. Определение углов между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями;
3. Определение величин плоских фигур, произвольно расположенных в пространстве.
Решение ряда метрических задач будет приведено во второй главе «Способы преобразования ортогонального чертежа».
Рассмотрим решение позиционных и метрических задач на примерах.
Позиционными называют задачи, где требуется установить взаимное положение и взаимную принадлежность рассматриваемых геометрических образов.
Метрическими называют задачи на определение длины линий, расстояний, размеров, углов, площадей и др.
Для решения метрических задач необходимо:
1) все задачи по определению расстояний привести к измерению расстояния между точками или к определению величины перпендикуляра, характеризующей искомое расстояние;
2) все задачи по определению углов привести к измерению угла между двумя пересекающимися линиями;
3) преобразовать заданные геометрические фигуры общего положения в такое положение, при котором искомые расстояния, углы и площади могут быть измерены непосредственно по чертежу.
Пример 1. Через прямую MN провести плоскость, перпендикулярную заданной плоскости АВС.
Определить угол наклона построенной плоскости к плоскости проекций П1 (рис. 76).
План решения:
1. Через точку М проводим прямую l, перпендикулярную плоскости АВС. В треугольнике АВС АС является горизонталью, а АВ – фронталью плоскости. Поэтому проводим l1 ^ A1C1; l2 ^A2 B2.
2. Две пересекающиеся прямые MN и l задают плоскость, перпендикулярную заданной АВС. Перезададим построенную плоскость треугольником MNK.
3. Для определения угла наклона плоскости MNK к П1 построим линию ската 12, которая перпендикуляр на горизонтали MN этой плоскости.
Рис.76 4. Определяем методом прямоугольного треуголь-
ника натуральную величину линии ската. Угол между натуральной величиной и ее горизонтальной проекцией будет искомым углом a.
Пример 2. Построить проекции высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС (рис. 77).
План решения.
1. Через точку А проводим плоскость Р (h ìü f), перпендикулярную прямой ВС. h1 ^ B1C1; f2 ^ B2C2.
2. Определяем точку пересечения прямой ВС с построенной плоскостью (т.О). Для этого через ВС проводим дополнительную проецирующую плоскость Q. Q ^ П2. Строим линию пересечения построенной плоскости с заданной 12 = Q ìü АВС.
3. Отмечаем точку пересечения построенной линии с ВС. О = 12 ìü ВС.
4. Соединяем точки А и О, которые определяют высоту треугольника АВС.
Пример 3. Через точку А провести прямую, пересекающую заданные прямые CD и EF
(рис. 78).
|
Рис.77 Рис. 78
План решения :
1. Через точку А и прямую EF проводим плоскость P (AF ìü EF).
2. Определяем точку пересечения прямой CD с плоскостью Р (т.О) (см. предыдущий пример 2).
3. Через точку А и полученную точку О проводим прямую АО. Она пересекает CD в точке О и пересекает EF, т.к. лежит с ней в одной плоскости, что и требовалось по условию задачи.
Пример 4. В плоскости Р провести прямую, перпендикулярную к прямой АВ и пересекающуюся с ней (рис. 79).
План решения:
1. Определяем точку О пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Для этого через прямую АВ проводим горизонтально - проецирующую плоскость Q. Строим линию пересечения 12 плоскости P и Q. Отмечаем точку О пересечения линии 12 и АВ.
2. Через точку О проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ. Задаем ее горизонталью h и фронталью f, при этом h1 ^ A1B1, f2 ^ A2B2.
3. Перезадаем построенную плоскость h ìü f следами S1, S2, для этого определяем фронтальный след N горизонтали h и через него проводим S2 || f2, а через точку схода следов проводим S1 || h1.
ис. 53 |
4. Строим линию пересечения 34 плоскостей Р и S. Она будет искомой.
|
Дата добавления: 2015-02-25; просмотров: 5005;