Методы и модели теории принятия решений

В настоящее время нет ни одной области человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались методы моделирования. Особенно это относится к сфере менеджмента (организационного управления) различными системами, в которой основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Исторически одним из первых известных приемов моделирования в технике явился метод подобия. Суть его в том, что изучаемое явление воспроизводится в экспериментальных условиях, в другом, как правило, меньшем масштабе.

Рассмотрим основные аспекты общей теории моделирования, методологической основой которой является теория сложных систем.

Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. Objectum – объект). Выработка методологии направлена на упорядоченное получение и обработку информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой.

Что такое модель и моделирование?

Модель – это специально создаваемый объект, на котором воспроизводятся вполне определенные и заранее спланированные характеристики с целью его исследования, а процесс замещения реального объекта моделью в интересах получения информации о важнейших свойствах объекта - оригинала с помощью объекта - модели называется моделированием.

Таким образом, моделирование может быть определено как представление реального объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на таких моделях называется теорией моделирования. Рассмотрим основные посылы этой теории.

Абстрагируясь от имеющегося многообразия в науке и технике моделей, отметим, что общим для них является наличие структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая подобна структуре объекта. Степень соответствия объекта не столько структуре, сколько функции называется адекватностью модели, которая может быть различной. Анализом этой проблемы занимается теория подобия. Например, так называемые функциональные модели отображают лишь функции объекта, т.е. его поведение. Они широко использовались в кибернетике для моделирования методом «черного ящика». При этом под «черным ящиком» понимается система, внутреннее устройство которой неизвестно наблюдателю и не имеет для него решающего значения, но он может исследовать «входы» и «выходы» этой системы.

Например, на предприятие поступает какое-то определенное количество сырья («входы»), а после его переработки предприятие выпускает соответствующее количество готовой продукции («выходы»).

Модели могут быть реализованы как с помощью физических, так и с помощью абстрактных объектов. В большинстве случаев в качестве абстрактных используются математические модели, которые описывают характеристики объектов с помощью математических зависимостей. Математическое моделирование является наиболее совершенным и вместе с тем наиболее эффективным методом исследования реальных объектов или процессов. По мере решения экономических задач прогнозирования возникла и усиленно развивается необходимость исследования в практике методов моделирования. Среди них важное место отводится использованию совокупностью методов математического программирования, включающих в себя линейное и динамическое программирование, теория, теория игр, аппарат теории исследования операций, теорию принятия решений.

Развивающаяся отечественная экономика в условиях жесткой конкуренции и нарождающегося свободного рынка требует необходимости акцентирования внимания современного менеджмента на вопросах организации производства и его управления. В этой связи требуется разработка рекомендаций по наилучшему (оптимальному) управлению процессами. Иначе - необходимо применение математических количественных методов обоснования принимаемых решений. Такими проблемами занимается область, возникшая из недр математики, которая называется «исследование операций».

Прежде чем приступить к рассмотрению математического моделирования и постановки задач оптимизации определимся с некоторыми основными понятиями теории исследования операций и принятия оптимальных решений.

Под операцией понимается любое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению поставленной цели.

Примеры операций:

1. Система мероприятий направленная на повышение качества продукции.

2. Размещение заказов в гостиничном комплексе.

3. Система транспортировки туристов, обеспечивающая надежную их доставку в пункты проведения отдыха.

4. Разработка стратегии изыскания рыночных ниш в сфере потребления продукта.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т.е. от нас зависит выбрать тем или иным способом выделенные параметры, характеризующие способ ее организации. Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров мы будем называть решением.

Решения могут быть удачными и не удачными, рациональными и нерациональными. Оптимальными называются такие решения, которые по тем или иным соображениям является предпочтительнее других. Таким образом, основная задача исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операции и относится к компетенции лица или органа (соответствующих директоров), которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе ответственные лица могут учитывать кроме количественных оценок, еще ряд соображений, которые не были учтены при расчете.

Для применения количественных методов исследования в любой области требуется построить математическую модель явления или процесса. При построении математической модели явление, каким - то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое число важнейших, и полученная схема описывается с помощью определенного математического аппарата.

Необходимо заметить, что, несмотря на огромное количество разработанных к настоящему времени моделей, общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из цели и задачи исследований, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные. Тем не менее, математическое моделирование для исследования, например, характеристик функционирования системы управления можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

- аналитическим, когда стремятся получить в общем, виде явные зависимости для искомых характеристик;

- численным, когда, не имея возможности решить уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

- качественным, когда можно найти лишь некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

При имитационном моделировании, которое иногда называют статистическим, по сравнению с аналитическим, имеется возможность решения более сложных систем, содержащих, прежде всего, случайные воздействия. Для этих целей широко применяется так называемый метод статистических испытаний или метод Монте-Карло. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем (экономических), когда требуется создать систему с заданными характеристиками, при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

И, наконец, комбинированное (объединяющее первые два) моделирование при анализе и синтезе систем управления позволяет объединить их достоинства. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и там, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных строятся имитационные модели.

Требования к модели очень часто бывают противоречивыми. С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т.е. должны быть учтены все важные факторы, от которых зависит исход операции. С другой – модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было с минимальными затратами установить обозримые зависимости между входящими в нее параметрами. Таким образом, математическое моделирование неразрывно связано с решением оптимизационных задач, вызванных выбором наиболее рациональной (с позиций поставленных целей) структуры моделей систем управления.

Для начала рассмотрим постановку задачи отыскания экстремума в детерминированной постановке.

Пусть имеется некоторая операция О, т.е. управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере повлиять, выбирая тем или иным способом зависящие от нас параметры. Эффективность этой операции характеризуется численным критерием или показателем W, который требуется обратить в max (или min). Считаем также, что математическая модель операции построена, т.е. она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принято решении и любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит успех операции, т.е. наиболее рациональный вариант, делятся на две группы:

- заданные известные факторы (или условия проведения операции) a₁, a₂, …..a_n, на которые мы влиять не можем;

- зависящие от нас факторы x₁, x₂,….x_n, которые мы можем выбирать в известных пределах по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, будем называть детерминированными. Под заданными условиями a_1, a_2,….. могут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности ограничения, наложенные на элементы решения. Аналогично обстоит дело и с элементами x₁, x₂,…

Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов, т.е. W=W(a_1, a₂,…; x₁, x₂,…) (1)

При построенной математической модели зависимость считается известной и для любых a_I и x_i мы можем найти W. Тогда задачу исследования операции можно математически сформулировать так:

при заданных условиях a₁, a₂,… найти такие элементы решения x₁, x₂,…, которые обращают показатель W в, например, максимум. Это типично математическая задача, относящаяся к классу вариационных задач. Методы решения таких задач хорошо известны, простейшие из них – методы отыскания max и min. Для отыскания экстремума функции W достаточно продифференцировать ее по аргументам, приравнять производные к нулю и решить полученную систему уравнений.

Приведенный выше простейший случай не является типичным в практике экономических расчетов. Наиболее широко распространенной является ситуация, когда не все условия, в которых будет осуществляться операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Например, успех проводимых мероприятий может зависеть от метеорологических условий или от колебаний спроса и предложения туристских услуг, обусловленных влиянием конкурентов и других факторов. В этом случае эффективность операции будет уже зависеть не от двух, а трех категорий факторов, т.е.

W=W (a₁, a₂,…,Y₁, Y₂,…; x₁, x₂,…) (2)

где Y_i – факторы, которые нам неизвестны, а значит неизвестен и зависящий от них показатель эффективности. Тем не менее, задача по выбору W перед нами стоит и формулировка ее выглядит следующим образом:

при заданных условиях a₁, a₂,…., с учетом неизвестных факторов Y₁,Y₂,… найти такие элементы решения х₁, х₂,…, которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W. Наличие неизвестных факторов переводит нашу задачу в разряд задач о выборе решения в условиях неопределенности. Наиболее простой и благоприятной для расчетов является ситуация, когда неизвестные факторы Y₁, Y₂,… представляют случайные величины (или функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем гостиничный комплекс, стремясь оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на отдых туристов. Заранее неизвестны ни группа прибывающих клиентов, ни их количество, ни их социальное положение, а значит и потребности. Все эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых может быть определен на основе имеющихся данных обычными методами математической статистики.

В этом случае для решения поставленной задачи можно воспользоваться следующими двумя приемами.

Первый из них сводится к тому, что неопределенная вероятностная картина приближенно заменяется детерминированной. Для этого все случайные факторы заменяются неслучайными (как правило, их математическими ожиданиями). Этот прием применим в ориентировочных расчетах, когда интервал случайных изменений величин Y_i относительно мал.

Второй прием ("оптимизация в среднем") более сложный, когда случайность величин Y_i весьма существенна и замена каждой из них может привести к большим ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эффективности W существенно зависит от случайных факторов Y_i; допустим, что нам известно распределение этих факторов, т.е. плотность распределения f(y_i). Предположим, что операция выполняется многократно, причем условия Y_i меняются каждый раз случайным образом. Какое решение x_i при этом следует выбрать?

Очевидно, что в среднем операция будет наиболее эффективна тогда, когда математическое ожидание показателя эффективности W будет максимально. Таким образом нужно выбрать такое решение x_i, при котором обращается в max W, т.е.

W= M (W)= òò….òW (a₁, a₂, …; y₁, y₂,….; x₁,x₂….) · f ( y₁, y₂,… ) dy₁dy₂.. (3)

Такую процедуру в математике называют "оптимизацией в среднем". А как же быть с элементами неопределенности? Конечно, в какой-то мере он сохраняется. Однако при многократном осуществлении операции эти различия в среднем сглаживаются. В случае однократного моделирования операции, т.е. когда остается некоторая неопределенность, считается, что "оптимизация в среднем" все же лучше, чем выбор решения без всяких оснований. Более того, многократное воспроизведение операционных процедур приводит все же к желаемому результату, чем в случае, если бы мы не пользовались расчетом.

И, наконец, в практике возможны и случаи неопределенности, когда неизвестные факторы Y_i не могут быть изучены или описаны с помощью статистических методов. В подобных случаях вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с дальнейшей "оптимизацией в среднем", рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий и промоделировать операцию при этих условиях. Конечная цель моделирования остается прежней – оценка критерия эффективности. При этом задача оптимизации приобретает новые методологические особенности.

Рассмотрим случай, когда эффективность операции W зависит, кроме заданных условий a₁ и элементов решения x_i еще и от ряда неизвестных факторов Y_i нестатистической природы, о которых можно делать кое-какие предположения. Для решения подобной задачи целесообразно зафиксировать мысленно параметры и придать им вполне определенные значения, т.е. Y₁=y₁, Y₂=y₂…., переведя тем самым их в категорию заданных условий a_i. Для этих условий задача в принципе решаема с позиций оптимизации этих решений. Такой способ получил название локально-оптимального, возможности которого имеют ограниченную ценность.

В завершении постановки задач оптимизации и возможности способов их решения сделаем одно принципиальное замечание.

При обосновании решений в условиях неопределенности, какие бы меры мы не принимали, элемент неопределенности все равно остается. Поэтому нет смысла предъявлять к точности таких решений слишком высокие требования. Вместо того, чтобы после скрупулезных расчетов, однозначно указать одно единственное решение, всегда лучше выделить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже других. В пределах этой области могут произвести свой окончательный выбор ответственные за него лица.

В теории принятия решений существуют специфические понятия и определения, существо которых заключается в следующем.

Задачи, в которых отыскивается max или min некоторой функции при наличии ограничений на переменные, объединяются общим названием --- задачи математического программирования. Функция, экстремум которой отыскивается, называется целевой функцией. Фигурирующие в математической модели ограничения представляют собой систему соотношений, сужающую область допустимых значений так называемых управляемых переменных, т.е. тех величин, которые подлежат оптимизации. Выраженные через управляемые переменные целевая функция и ограничения и составляют математическую модель задачи оптимизации. Всякий набор значений переменных, удовлетворяющих ограничениям, определяет допустимый план, а тот из них, на котором достигается экстремум (он может оказаться не единственным), определяет оптимальный план.

Рассмотрим некоторые математические модели задач планирования и управления, которые сводятся к задачам математического программирования.

1. Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Эта задача возникает при составлении планов выпуска продукции и поэтому имеет важное практическое значение.

Пусть номенклатура выпускаемой фирмой тур. продукции состоит из n наименований. Обозначим через a_ij затраты I-го вида ресурсов (I=1,2,…., m) на производство единицы продукции j-го вида (j=1,2,….n), через b_i-полные объемы имеющихся ресурсов (I-1, 2,,…m), c_i-прибыль, получаемую фирмой при изготовлении и реализации единица I-го вида тур продукта, а через а_i и A_i—соответственно, наперед задаваемые нижнюю и верхнюю границы по объему выпуска I-го вида продукции.

Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществим по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуски каждого вида продукции и в тоже время приносил бы наибольшую общую прибыль предприятию.

Математическая модель задачи состоит в следующем: найти такой план выпуска продукции x=(x_1, x₂, x₃,…x₄), чтобы выполнялись неравенства.

1) а_ij x_j b_i , I=1,2,…m (технологические ограничения)

2) a_j x_j A_j , j=1, n (ограничения на объемы отдельных видов выпускаемой продукции) и при этом достигался бы

Max c_i x_j (общая прибыль от производства и реализации продукции).

2. Оптимизация межотраслевых потоков

Пусть имеется nотраслей хозяйства, каждая из которых производит один специфический вид продукции, причем каждый произведенный вид продукции используется в производстве во всех n отраслях.

Введем следующие обозначения:

X_i—объем производства в I-ой отрасли,

Y_i—объем продукта I-го вида для внепроизводственного потребления,

a_ij — коэффициенты прямых затрат продукции j-го вида на производство I-ой продукции,

N_i— максимально возможный объем производства в I-ой отрасли,

d_i— требуемое для внепроизводственного потребления количество продукции I-го вида,

c_i— стоимость единицы продукции i-го вида.

Требуется найти также возможные в заданных условиях объемы производства x_i и такой план выпуска конечной продукции y_i (I= ), при которых максимизируется общая стоимость произведение конечного продукта.

Математическая модель этой задачи может быть представлена в следующем виде:

Найти такие векторы X=(x₁,x₂,…,x_n) и Y=(y_1, y_2,,…,y_n),чтобы достигался max c_i y_i (общая стоимость всего конечного продукта) при выполнении ограничений:

1. Ограничение на объемы производства 0 x_i N_i, I= ;

2. Ограничения на выпуск конечного продукта y_i d_i, I= ;

3. Технологические ограничения на выпуск продукции

x_i a_ij x_i+y_i, I= .

3. Задача Конторовича о выборе производственной программы

Эта задача была одной из первых практических задач линейного программирования, решенной в 1939 году известным отечественным математиком Л. Канторовичем.

Имеется m предприятий, на которых нужно произвести n продуктов в заданном ассортименте l( ). Известна производительность a_ij I-го предприятия в единицу времени, если оно выпускает j-й продукт. Предполагается, что max a_ij >0, т.е. каждый продукт выпускается хотя бы на одном предприятии.

Требуется составить программу работы предприятий (указать время, отведенное на производство каждого вида продукта на данном предприятии) так, чтобы получить максимальный суммарный объем продукции в заданном ассортименте в единицу времени. Иначе говоря, имеется ввиду случай, когда продукция дефицитна (max спрос), а производственные мощности ограничены и должны использоваться максимально полно.

Математическая модель данной задачи описывается следующим образом.

Обозначим через x_ij (I= , j= ) рабочее время I-го предприятия, отводимое под j-й продукт. Тогда поиск оптимальной программы загрузки предприятий сводится к решению следующей задачи.

Найти числа x_ij из условий:

1. x_ij 0 (время не может быть отрицательным).

2. x_ij 1 (сумма всех долей не превосходит полного времени работы предприятия).

3. y_j= a_ij x_ij (количество j-го продукта, произведенного на всех предприятиях).

Тогда, если z=min (количествo ассортиментных наборов продуктов), то z достигает max.

Примечание. В такой постановке эта задача не является задачей линейного программирования, т.к. min — нелинейная функция y_j (j= ). Однако, эту задачу можно легко свести к задаче линейного программирования.

1. Транспортная задача

В простейшем варианте эта задача возникает, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям. Предполагается, что потребителям безразлично откуда (из каких пунктов производства будет поступать продукт), лишь бы он поступал в запрашиваемом объеме. Однако от того, насколько рациональным будет прикрепление пунктов потребления к пунктам производства, существенно зависит объем работы транспорта. В этой связи возникает задача о наиболее рациональном прикреплении, правильном направлении перевозок груза, при котором потребности удовлетворяются, а затраты на транспортировку минимальны.

Математическая модель задачи описывается так.

Пусть имеется m пунктов производства в единицу времени (месяц, квартал), равными a_i=( ) и n пунктов потребления с объемами потребления b_i I( ). Естественно полагать, что a_i b_j, т.е. потребление не превышает возможностей производства. Известны также величины c_ij—затраты по перевозке единицы продукта из I-го пункта производства в j-й пункт потребления.

Необходимо составить такой план перевозок, при котором были бы удовлетворены потребности во всех пунктах потребления и при этом суммарные затраты на перевозку были бы минимальными.

Обозначая через x_ij количество продукта, перевозимое из I –го пункта производства в j-й пункт потребления, приходим к следующей математической модели:

Найти значения величин x_ij, чтобы достигался min c_ij x_ij суммарных затрат на транспортировку при условиях:

1. _ij b_j, j= —в каждый пункт потребления завозится требуемое количество продукта.

2. x_ij a_i, I= — из каждого пункта производства вывозится не более произведенного количества продукта.

3. x_ij= , — перевозимый объем продукта , не может быть отрицательным.

Эта задача может быть поставлена и в параметрической постановке, например, зависеть от времени.

2. Параметрическая транспортная задача

Пусть мощность поставщиков a_i, спрос потребителей b_j и затраты по перевозке единицы продукции c_ij линейно изменяются в зависимости от времени t:

A_i=α_i+ α’t, I= ;

B_i=β_j+β_j’t, j= ;

C_ij=γ_{ij +}+γ_ij’t, I= , j= .

Требуется минимизировать транспортные издержки.

min (γ_ij+γ’_ij t) x_ij при ограничениях:

1. x_ij β_j+β’_j t, I= ;

2. x_ij α_i+α’_I t, j= ;

3. x_ij , I= , j= .

При этом очевидно, что решение задачи также будет изменяться от величины временного параметра.

Проблема принятия решений связана с выбором направления действий для достижения цели операции. В широком смысле решение есть процесс выбора одного рационального варианта действий или некоторого их подмножества из множества возможных. В узком смысле решение есть результат конкретного выбора варианта действий. Такой выбор осуществляет лицо, принимающее решение (ЛПР), которое наделено определенными правами и полномочиями и несет всю полноту ответственности за последствия принимаемых решений.

I) Переходным этапом от проблемы к постановке формальных задач является проблемная ситуация, результатом которой является формализация задачи. Последняя указывает, какие результаты, в каких условиях и к какому сроку необходимо достичь.

Примеры:

1. «К 4 кварталу следующего года повысить покупательную способность товаров не менее чем на 20%, снизить их себестоимость не менее чем на 5%; при этом суммарные затраты не должны превосходить 20 млн. рублей».

2. Стратегиями в 1 примере могут являться: закупка в пределах выделенных ассигнований более качественного сырья, формирование премиального фонда за счет дополнительной реализации продукции, модернизация оборудования, повышение квалификации работников, сокращение управленческого аппарата, закупка лицензий и т.д.

Каждая из указанных стратегий является чистой стратегией в том смысле, что именно на ее реализацию расходуются все имеющиеся средства. Если же последние делятся между чистыми стратегиями в определенной пропорции, то такие сложные стратегии также входят во множество допустимых альтернатив. Указать их может только ЛПР применительно к понимаемой им конкретной задачи (здесь и сейчас). Это означает, что кроме представленной информации ЛПР должно иметь и информацию о предпочтениях, его отношение к риску в условиях неопределенности, об интересах других субъектов операции (конкурентов). Природа неопределенностей может иметь как случайный, так и нестохастический характер (рис. 1.)

Рис. Классификация факторов

Получение значений показателей, характеризующих тот или иной исход операции, связанно с решением задачи моделирования операции. Проблема исследования эффективности операции с целью выработки решения включают три взаимосвязанных этапа: постановку задачи, получение результатов, и их анализ.

Вопросы принятия решений, относящиеся к постановке задачи, связаны с исходной информацией о проблеме, анализом неопределенностей, формированием исходного множества стратегий, выбором показателя и критерия эффективности. Второй процесс означает формализацию модели операции и получение оценок по результатам моделирования. Процесс анализа результатов предполагает решение задачи выбора на основе сформированного критерия эффективности.

Задача принятия решений предполагает, во-первых, разработку модели проблемной ситуации, отражающей взаимосвязь основных элементов процесса выработки решения и последовательность формирования частных задач (см. рис. 2).

P_U P_Λ

P_G P_Y

P_w P_k

цель не достигнута цель не достигнута

цель достигнута

Рис. Модель проблемной ситуации

На этой модели обозначены:

U— множество стратегий ЛПР;

Λ— множество значений определенных и не определенных факторов;

G—множество исходов операции;

Y— вектор характеристик исходов g Є G, т.е. числовое выражение результата операции;

W и K— соответственно показатель и критерий эффективности;

Р— модель предпочтений ЛПР на элементах множества:

D={Λ, G, Y, W, K, U}.

Тогда модель проблемной ситуации можно представить в виде системы:

{U, Λ, G, Ψ, Ρ, W, K, Y},

где

Ψ—оператор соответствия «результат-показатель».

Модель предпочтений Р есть формализованное представление ЛПР о «лучшем» и «худшем» среди элементов некоторого множества. С её помощью решаются важные задачи принятия решений, связанные с формированием исходного множества альтернатив U, выделением существенных факторов Λ, определяющих условия проведения операции, выбором исходов G операции, показателей и критериев эффективности.

В качестве последних обычно фигурируют пригодность, оптимальность и адаптивность.

На основе модели проблемной ситуации могут быть получены различные постановки частных задач принятия решений:

- задача структуризации исходной информации, которая в большинстве случаев решается эвристическим методом (например, - экспертных оценок);

- задача анализа неопределенности (рис.1.), решается как с помощью формальных методов (корреляционный, регрессионный, факторный и спектральный анализ, аппарат целей Маркова, метод группового учета аргументов, методы распознавания образов и т.д. – всего 150 методов);

- задача формирования исходного множества стратегий;

- задача моделирования исходов операций;

- задача моделирования цели операции;

- задача моделирования предпочтений.

Практика исследования сложных систем показывает, что наиболее общим и существенным признаками классификации являются: число лиц принимающих решение, вид показателя эффективности, степень определенности информации о проблемной ситуации, зависимость элементов модели проблемной ситуации от времени.

По признаку числа ЛПР различной задачи индивидуального и группового принятия решений. В зависимости от используемого показателя эффективности принятия решений подразделяются на задачи со скалярным и векторным показателем, которые часто еще называют соответственно скалярными и векторными задачами принятия решений.

По признаку степени определенности информации различают задачи принятия решений в условиях определенности и неопределенности. В условиях определенности (детерминированная постановка) задачи характеризуются наличием полной и достоверной информации о проблемной ситуации, целях, ограничения и последствиях принимаемых решений. (Комментарий рис. 1.).

По признаку зависимости элементов модели проблемной ситуации от времени различают статические и динамические задачи принятия решений.

Классификация методов решения основных классов задач приведена в таблице 1.

Таблица

Классификация методов

Факторы	Показатель эффективности
скалярный	векторный
ΛF	Методы математического программирования	Методы принятия решений в условиях определенности
ΛE	Методы статического программирования	Методы принятия решений в условиях стохастической неопределенности
	Методы теории игр
	Методы решения матричных игр	Методы решения биматричных игр со строгим и нестрогим соперничеством

Примечание:

Λ_F — множество определенных факторов;

Λ_E — множество случайных факторов;

— множество факторов «природной» неопределенности;

— множество факторов поведенческой неопределенности.

Процессы принятия решений включают этапы, тесно связанные с этапами оценивания эффективности операции, которые содержат: постановку задачи, выбор показателя и критерия эффективности, оценивания эффективности по результатам моделирования, интерпретацию полученных результатов с целью принятия дальнейших решений. Процесс принятия решений должен рассматриваться с позиции системного подхода.

Выработка решения начинается с анализа проблемы и проблемной ситуации. На этих этапах осуществляется структуризация проблемы, и устанавливаются цели, проводится их декомпозиция на подцели и задачи, формируются общие условия поведения операции. В результате структурного анализа цель конкретизируется по срокам ее достижения, устанавливаются ограничения, окончательно фиксируется комплекс условий проведения операции. Особенностью процесса решения указанных задач является его итерационный характер. Если цель операции не достигнута, то осуществляется возврат к этапу анализа проблемы ситуации или к любому другому предшествующему этапу. После того, как ЛПР удовлетворится результатами решения задач на всех уровнях, осуществляют юридическое оформление решения и его реализацию.

Решение задачи

да

нет

Рекомендации и уточнения, выдаваемые ЛПР

Рис.2. Схема процесса принятия решения

Уровень принятия решений носит, как правило, иерархический характер (см. табл. 2)

Таблица 2

Иерархия уровней принятия решений

Уровень принятия решения	Объект исследования	Цель исследования	Модель	Показатели и критерии эффективности
	Система	Анализ концепции проведения операции. Определения перечня подцелей и задач, подсистем, условий их функционирования. Формирование «облика» системы	Аналитическая	Степень достижения цели операции. Критерий пригодности. Критерий адаптивности.
Подсистема	Анализ способов выполнения задач подсистемами. Определение обобщенного облика подсистем и средств, общие требования к качеству их элементов	Имитационная	Степень выполнения задач подсистемами. Критерий пригодности. Критерий оптимальности
Элемент	Длительный анализ качества элементов	Статистическая	Показатели качества элементов. Критерий оптимальности.

Такая трехуровневая декомпозиция общей задачи принятия решений позволяет установить жизнеспособность выдвинутой концепции проведения операции, порождает единый системный, взгляд на операцию и процесс принятия решения, как с точки зрения ее цели, так и с учетом возможности других подсистем и средств. Прежде чем приступать к непосредственному рассмотрению методов решения оптимальных задач, введем некоторые определения и классификацию методов.

Под решением задачи оптимального программирования понимается процесс выбора управляемых переменных æ, принадлежащих допустимой области D и обеспечивающих оптимальное значение некоторой характеристики объекта ( ). Эта характеристика, показывающая относительное предпочтение одного варианта по отношению к другому, называется, критерием оптимальности (функцией цели, критерием эффективности, функцией полезности и др.). Экстремальное значение критерия оптимальности Q(x) численным образом, характеризующим наиболее важные свойства объекта. В зависимости от поставленной цели необходимо получить либо максимум, либо минимум этой величены.

В общем, виде задача оптимизации выглядит следующим образом:

Пусть для определенности требуется, чтобы критерий оптимальности был минимален:

Min Q (x), (4)

XЄD.

Это выражение является сокращенной записью следующей задачи оптимизации.

Найти вектор =(x₁,x₂,… x_n), обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности

Q = Q (x₁, x₂,…,x_n) (5)

При выполнении системы неравенств

G_j(x₁,x₂,…,x_n) ≥ 0, j = (6)

x_j ≤ x_j ≤ x­_j j =

Примечание

Это не нарушает общности рассмотрения, так как максимизация функции Q(x) достаточно просто сводится к его минимизации сменной знака.

В каждой из оптимизационных экономико-математических моделей имеется, как уже отмечалось, критерий оптимальности, глобальный экстремум, который осмысливается при заданных ограничениях.

В зависимости от вида целевой функции и ограничений экономико-математические модели разделяются на линейные, нелинейные и дискретные.

Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. В отличие от классической теории экстремальных задач, которая является частью математического анализа — особенно дифференциального исчисления, т.е. методов, использующих производную целевой функции. В рамках математического программирования различают, таким образом, линейное, выпуклое (нелинейное) и дискретное программирование. Широкий класс нелинейных дискретных задач объединяются общим названием динамического программирования. Наконец, задача оптимизации со случайными параметрами в функциях, определяющих ограничения, составляют предмет стохастического программирования.

При изучении первого раздела было показано, что на практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решение в условиях неопределенности. То есть возникают ситуации , в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации , возникающие при игре в шахматы , шашки , бильярд, относятся к конфликтным: результат каждого игрока зависит от ответного хода противника . В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним в частности относятся взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. Для эффективного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы нанаучно- обоснованные методы ; они разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название – теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями этой теории. Математическая теория конфликтной ситуации называется игрой; стороны участвующие в конфликте – игроками; а исход конфликта – выигрыш. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игроков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий , выигрыш может быть задан количественно (0, 1 или ).

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока и множественной, если число игроков больше двух. Нас будут интересовать только парные игры. Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, например b=-a .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.

Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход- это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход- это случайно выбранные действия (например, выбор карты из перетасованной колоды)

Стратегией игрока - называется совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Для того, чтобы решить игру или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получить максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными.

Если игра продолжается достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр, таким образом, является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

В зависимости от внешних условий формирования процесса и задачи игры , а также степени информативности лица принимающего решения оп итогам игры, существует следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях рынка;

б) в условиях неопределенности;

в) в условиях конфликта и противодействия;

В общем виде постановка задач теории игр производится следующим образом:

- имеется некоторая операция (целенаправленное действие), в которой участвуют две стороны A и B с противоположными интересами;

- имеются правила игры, регламентирующие результаты, к которым приводят возможные варианты действий сторон;

- результаты действий сторон - выигрыши выражены в количественной форме и обозначены a_ij, что означает математическое ожидание выигрыша стороны А, сделавшей свой I-ый ход при j-ом ходе стороны В.

Условия игры обычно записываются в форме платежной матрицы или матрицы игры.

Таблица 3

Матрица игры

Ai	Bj
B1	B2	…	Bn
A1	A11	A12	…	A1n
A2	A21	A22	…	A2n
….	…	…	…	…	…
Am	Am1	Am2	…	Amn
			…

В данной игре сторона А имеет m стратегий, а сторона В- n стратегий(игра m n) . необходимо найти оптимальные стратегии сторон, а также ожидаемый средний выигрыш(результат). Строки этой таблицы соответствуют стратегии игрока А, а столбцы – стратегии игрока В.

При решении игры встречаются следующие понятия: нижняя цена игры (или максимальный выигрыш) или максимин – это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В,

=max =max min a_ij . I= , j= .

Стратегия, соответствующая максимуму, называется максимальной стратегией. Верхняя цена игры- это гарантированный проигрыш игрока В.

=max =min max a_ij. Стратегия соответствующая минимаксу, называется минимальной стратегией.

В тех случаях , когда = =7, игра имеет седловую точку – элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Общее значение верхней и нижней цены игры = =7 называется чистой ценой игры. Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (стратегии A_i и B_j), которые являются оптимальными. Совокупность этих стратегий называют решением игры в чистых стратегиях.

В тех случаях, когда , решение находится в смешанных стратегиях. Смешанная стратегия стороны А обозначается S_a=(p₁,p₁,…p_m) , где p₁, p₂, …,p_m- вероятности, с которыми применяются стратегии А₁, А₂, …,А_m. Причем =1. Аналогичны рассуждения и для стороны В:

S_B=(q₁, q₂,…,q_n) где =1. Решением игры в смешанных стратегиях будет пара оптимальных смешанных стратегий S*_A и S*_B. Выигрыш, соответствующий этому решению , называется ценой игры – v.

Геометрическое решение задачи

Применительно к играм 2 2 расчетные зависимости имеют следующий вид :

P₁=a₂₂-a₂₁: a₁₁+a₂₂- a₁₂- a₂₁; p₂=1-p₁; (7)

q₁=a₂₂-a₁₂: a₂₂+a₁₂-a₂₁; q₂=1-q₁;

S*_A=(p₁, p₂)

S*_B=(q₁, q₂)

Стратегии входящие в оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля, называются активными, а цена игры равна:

V=a₂₂a₁₁-a₁₂a₂₁: a₁₁+a₂₂-a₁₂-a₂₁. Игры типа 2 2 имеют следующее геометрическое решение (рис.)

ﺍ ﺍﺍ

B₁

a₂₁ N a₂₁

B₁ v B₂

A₁ a₁₁ a₂₂ A₂

0 1 x

p₂ S*_A p₁

Рис.4. Геометрическое решение игр типа 2x2

1.На отрезке оси абсцисс длиной х=1 левый конец участка (х=0) изображает стратегию А₁, а правый (х=1) – стратегию А₂; промежуточные точки участка изображают смешанные стратегии стороны А.

2.Через точки А₁, А₂ проводятся перпендикуляры к оси абсцисс: оси ﺍ-ﺍ ,ﺍﺍ-ﺍﺍ. На первой из них откладываются выигрыши при стратегии А₁, а на второй – выигрыши при стратеги А₂.

3) Стратегия противника В₁ дает на осях ﺍ-ﺍ , ﺍﺍ-ﺍﺍ точки с координатами а₁₁и а₂₁ соответственно , а стратегия В₂- точки с координатами а₁₂ и а₂₂ соответственно.

4) Ордината точки N пересечение стратегий В₁ и В₂ дает величину выигрыша v-цену игры. Абсцисса точки N дает вероятности обеих стратегий P₁и P₂,которые равны расстояниям от точки S*_A до правого и левого концов соответственно.

Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник. Данные, необходимо для принятия решения в условиях неопределенности , обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям , а столбцы- возможным состояниям системы.

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить , какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

E_l- выбор размеров из соображений максимальной долговечности;

E_m- выбор размеров из соображений минимальной долговечности;

E_i- промежуточные решения;

F_l- условия, обеспечивающие максимальную долговечность;

F_n- условия, обеспечивающие минимальную долговечность;

F_i – промежуточные условия.

Под результатом решения e_ij=e(E_i; F_j) здесь можно понимать оценку , соответствующую варианту E_i и условиям F_j и характеризующие прибыль, полезность, надежность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения.

Тогда семейство (матрица) решений имеет вид:

F₁ F₂ … F_n

E₁ e₁ e₁₂ … e_1n

E₂ e₂₁ e₂₂ … e_2n

… … … … …

E_m e_m e_m2 … e_mn

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений сводится к одному столбцу Каждому варианту E_i приписывается , т.о., некоторый результат e_ij , характеризующий , в целом все последствия этого решения . Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e_i.

Классические критерии принятия решений

1. Минимаксный критерий

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием(ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_ir каждой строки. Необходимо выбрать те варианты , в строках которых стоит наибольшее значение e_ir этого столбца.

Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает , что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот , на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ- критерий одним из фундаментальных. Применение ММ- критерия бывает оправдано , если ситуация , в которой принимается решение следующая.

1. О возможности появления внешних состояний F_j ничего не известно;

2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний F_j;

3. Решение реализуется только один раз;

Необходимо исключить какой бы то ни было риск;

2. Критерии Байеса - Лапласа

1. Обозначим через q_i – вероятность появления внешнего состояния F_j. Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты , в строках которых стоит наибольшее значение e_ir этого столбца. При этом предполагается, что ситуация , в которой принимается решение , характеризуется следующими обстоятельствами:

1.Вероятности появления состояния F_j известны и не зависят от времени.

2. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

3. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. .Поэтому при полной(бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен. Т.о. критерий Байеса-Лапласа(B-L-критерий) более оптимистичен , чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

3. Критерий Сэвиджа

a_j=max e_ij-e_ij

e_ir=max a_ij=(max e_ij-e_ij)

Величину a_ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш , который достигается ,если F_j вместо варианта E_i выбирать другой , оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину a_ij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии F_i при замене оптимального для него варианта на вариант E_i .В последнем случае e_ij представляет собой максимально возможные(по всем состояниям F_j, j= ) потери в случае выбора варианта E_i.

1. Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max e_ij соответствующего столбца.

2. Разности a_ij образуют матрицу остатков . Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ij.Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее значение.

Требования, предъявляемые к ситуации , в которой принимается решение , совпадают с требованиями к ММ- критерию.

4. Пример и выводы

Из требований, предъявляемых к рассмотренным критериям, становится ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия