Поток Эрланга порядка k

Потоком Эрланга k-го порядка называют поток событий, получающегося "прореживанием" простейшего потока, когда сохраняется каждая k-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются.

Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму k независимых случайных величин Z₁,Z₂,...,Z_k, имеющих показательное распределение с параметром λ:

Закон распределения случайной величины Z называется законом Эрланга k-го порядка и имеет плотность

, (x > 0).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Z соответственно равны:

M[Z]=k/ ; D[Z]=k/ ².

На основе определения потока Эрланга получается простой способ моделирования: прореживается пуассоновский поток с интенсивностью = /k, т.е. в пуассоновском потоке допускаем моменты времени с номерами 1,2,...,k-1, а k-й момент оставляем, т.к. он принадлежит новому потоку и т.д. Таким образом, моменты времени потока Эрланга вычисляются по формулам:

t₁ = 0;

, j=1,2,3,...,

где - интенсивность потока Эрланга k-го порядка, u_j - случайные числа от ДСЧ.

3. ОБЪЕКТЫ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ

Объектами исследования в лабораторной работе являются потоки событий, образованные слиянием нескольких потоков с известными характеристиками.

В процессе имитации потоков событий используются различные методы сортировки.

Одним из простых методов сортировки является метод пузырька (BUBBLE) который позволяет массив A, содержащий N элементов, расположить, например, в возрастающем порядке. Соответствующий алгоритм приведен на рис.4.1. Однако. Более эффективным методом для данного типа задач будет метод вставки.

процедура BUBBLE(A, N);

N1=N-1;

Цикл I=1,N1;

begin

K=1;

10 J=K+1;

Если A(K) £ A(J) то идти к 20;

U=A(K);

A(K)=A(J);

A(J)=U;

K=K-1;

Если (K³1), то идти к 10;

20 end;

Конец

Рис.4.1. Подпрограмма сортировки методом пузырька

В лабораторной работе могут быть использованы и другие более эффективные методы сортировки (например, адресная сортировка и т.п.).

4. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

4.1. Ознакомиться с основными типами потоков событий.

4.2. Ознакомиться с методами моделирования пуассоновского, равномерного потока событий и потока Эрланга порядка k.

4.3. Ознакомиться с методами сортировки массивов чисел.

5. ПРОГРАММА РАБОТЫ

В некоторую систему массового обслуживания по различным каналам поступают заявки, образующие поток событий заданного типа. На входе системы потоки сливаются в один. Составить алгоритм и программу имитации результирующего потока, указанного в варианте.

Первые 100 моментов времени поступления заявок в результирующем потоке вывести на печать. По первым 1000 заявкам рассчитать оценку средней интенсивности потока. Найденную оценку сравнить с теоретическим значением интенсивности потока.

5.1. Поток образован слиянием трёх пуассоновских потоков событий с интенсивностями ₁, ₂, ₃ (1/с) ( табл.5.1. ).

Таблица 5.1.

Вариант
1				2,5		1,5
2					0,5
3				0,5	0,5	0,5

5.2. Поток образован слиянием двух равномерных потоков с параметрами a₁, b₁ и a₂, b₂ ( с ) ( табл. 5.2. ).

Таблица 5.2.

5.3. Поток образован слиянием пуассоновского потока с интенсивностью (1 /с ) и равномерного потока с параметрами a и b ( с ) ( табл.5 3. ).

Таблица 5.3.

Вариант
					0,5	0,5
а	0,5		0,5
b	1,5

5.4. Результирующий поток является потоком Эрланга k-го порядка с интенсивностью ( 1/с ) ( табл.5.4. ).

Таблица 5.4.

Вариант
K
	0,5		0,5		0,5

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Дать определение потока событий.

6.2. Как строится вероятностное описание потока событий.

6.3. В чём состоит способ моделирования стационарного потока с ограниченным последствием.

6.4. Охарактеризовать пуассоновский поток и способ его моделирования.

6.5. Охарактеризовать равномерный поток и способ его моделирования.

6.6. Дать характеристику потока Эрланга k-го порядка и метода его имитации.

6.7. Привести характеристики потока событий, исследованного в лабораторной работе.