Законы распределения случайных величин.

Случайная величина (СВ) - это изменчивая величина, которая может принимать то или иное значение в за­висимости от степени воздействия на нее случайных факторов. Численное значение случайной величины предсказать трудно. Тем не менее практически важно знать, какое из возможных чис­ленных значений и с какой вероятностью может принять случайная величина в результате случайного события. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными.

Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает только отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Чаще всего дискретные величины принимают толь­ко целые значения, тогда их называют целочисленными.

Примеры дискретных случайных величин:

• число циклов повторной нагрузки до разрушения конструкции;

• число дефектных изделий (панелей) в партии;

• число станков, требующих подналадки.

ДСВ считается известной, если известны принимаемые ею значения и вероятности. Для ДСВ распределение вероятностей представляет собой совокупность вероятностей случайных собы­тий, заключающихся в том, что СВ принимает одно из возможных значений. Формула для распределения вероятностей ДСВ в общем случае имеет вид:

где — случайная дискретная величина,

х_i — возможные значения ДСВ, i= 1,2,3...п

Правая часть равенства (17.1) означает вероятность того, что ДСВ примет значение х.. Закон распределения ДСВ согласно (17.1) записывается в виде таблицы (табл. 17.1).

Распределение случайной дискретной величины Таблица 17.1

				…
				…

Сумма Р, как сумма вероятностей группы несовместимых событий должна быть равна единице:

Пример 17.1. Завод изготавливает железобетонные панели. Если из большой партии отобрать три изделия, то возможные значения дефектных панелей в случайной выборке будут равны 0, 1,2,3. На основе наблюдений и измерений установлены вероятности попаданий дефектных изделий в случайную выборку (табл.17.2).

Рассмотренные четыре вероятности образуют распределение веро­ятностей ДСВ — числа дефектных плит в случайной выборке. Контроль:

Анализируя данные табл. 17.2 и учитывая статистический характер вероятно­сти, можно предполагать, что при большем количестве выборок по три плиты каж­дая согласно закону больших чисел примерно 75 % выборок не будут иметь ни од­ного дефектного изделия, 22 %—одно, 3 %—два и 0,1 %—все три, т.е. в последнем случае в одной из тысячи выборок все три изделия окажутся дефектными.

Данные о вероятностях и значениях ДСВ из табл. 17. 2 можно предста­вить в виде графика (рис. 17.1).

Иногда вершины отрезков, определяющих величину вероят­ностей, соединяют ломаной лини­ей, которую часто называют мно­гоугольником распределения.

Таким образом, закон рас­пределения ДСВ может быть за­дан аналитически (17.1), в виде таблицы или графически.

Рис. 17.1. Вероятность попадания дефектных железобетонных панелей в случайную выборку.

Непрерывная случайная величина (НСВ) принимает лю­бые значения из непрерывного числового множества в промежутке между предельными значе­ниями. Эти значения могут быть целыми и дробными. Очевид­но, число возможных значений непрерывной величины будет бес­конечно.

Примеры непрерывных случайных величин.

1) Предел текучести стали изменяется в пределах от

2) Срок службы деревянных конструкций складов минеральных удоб­рений колеблется в пределах = 30...50 лет.

3) Прочность бетона на сжатие класса В30 может изменяться в пределах = 28...50 МПа.

4) Прогибы изгибаемых элементов могут отличаться от средних значе­ний на 15. ..20%.

5) Ширина раскрытия трещин в железобетонных конструкциях может изменяться в пределах = 0,01...0,4 мм.

Для количественной характеристики распределения вероятностей удоб­но пользоваться не вероятностью события при некотором значении текущей переменной х, а вероятностью события того, что случайная величина будет меньше этого значения текущей переменной. С этой целью вводится функция распределения случайной величины.

Функцией распределения F(x) называется функция, опреде­ляющая вероятность того, что случайная величина в результате испытаний примет значение меньше х:

где х — текущая переменная.

Функция распределения является самой универсальной характери­стикой как для ДСВ, так и для НСВ. Функция распределения полности характеризует случайную ве­личину с вероятностной точ­ки зрения, т.е. является одной из форм закона распределе­ния. Функцию распределе­ния иногда называют ин­тегральной функцией рас­пределения. Она может иметь конечные и бесконечные пределы (рис. 17.2)

Рис. 17.2. Функция распределения непрерывной случайной величины: 1 — при ограниченных значениях случайной величины; 2—при неогра­ниченных значениях случайной величины.