Пример применения МКЭ к расчету стержневых систем

1

2

Стержень длиной , жесткость ЕА и плотностью материала рассматривается собственным весом.

МКЭ найти напряжение стержня.

1. Выберем тип КЭ.

Так как стержень работает в условиях растяжения/сжатия, то принимаем одномерный стержневой элемент слинейной аппроксимацией продольного перемещения.

- матрица функции формы

Матрица жесткости элемента:

Вектор узловых перемещений:

2. Сетка КЭ.

Примем, что стержень разбит на два конечных элемента.

Матрица индексов:

Свойства конечного элемента:

Закрепление узла:

3. формирование матричных характеристик ансамбля.

Формирование вектора нагрузки.

- распределенная нагрузка, собственный вес стержня

Вычисление вектора узловых сил ансамбля.

4. Решение системы уравнений.

5. Вычисление напряжения в стержнях.

6. Построение эпюр перемещения и напряжения.

1 ¾ ¾

3/8

¾ ½

2

¼ ¼

3

Эпюра напряжения показывает, что граничные условия в напряжениях при наличии распределенной нагрузки и линейных функциях формы не выполняется.

При увеличении количества КЭ ошибка в напряжениях на свободном конце уменьшается, но нулем никогда не будет.

Можно существенно уменьшить эту ошибку, если изменить порядок полиномов в функции формы. Для данной задачи можно практически устранить эту ошибку, если применять функции формы в виде полиномов второй степени.

В задачах динамики деформированного твердого тела силы инерции, связанные с перемещениями точек, сопоставимы с величинами нагрузки. Поэтому основное отличие задач динамики заключается в том, что в системе уравнений МСС учитываются силы инерции, вместо уравнений равновесия используются уравнения движения.

Применительно к стержням можно определить силы инерции, связанные с различными видами движений поперечного сечения с поступательными перемещениями центра тяжести сечения и его поворотами.

Удобно для постановки задачи динамики использовать вариационное уравнение Лагранжа. Его отличием от статического варианта будет добавление в число объемных нагрузок сил инерции:

Последнее слагаемое - элементарная работа сил инерции – записывается в виде:

- сила инерции Доломбера

(2.82)

Статические гипотезы Бернули не входят в это уравнение.

Кинематические гипотезы:

Последние три соотношения выражают компоненты перемещений при наложении пространственного изгиба на растяжение/сжатие. При кручении справедливо соотношение:

, где r – радиальная координата

- угол закручивания поперечного сечения

Как и в статике, благодаря выбору системы координат, состояние стержня определяется суперпозицией растяжения, кручения и двух плоских изгибов.

Поэтому выражение для элементарных работ сил инерции удобно рассматривать для каждого из простейших состояний.

Растяжение/сжатие:

Элементарная работа сил инерции:

Вариационное уравнение динамики растяжения/сжатия:

(2.83)

- продольная константа распределения нагрузки

Из этого уравнения нетрудно получить дифференциальное уравнение движения в перемещениях.

Вычислим первый интеграл по частям.

тогда

Подставляя в вариационное уравнение, получим:

- малый, не равный нулю множитель, следовательно

(2.84)

К этому уравнению следует присоединить начальные и граничные условия.

Плоский изгиб:

(2.85)

Преобразуем это уравнение, чтобы получить дифференциальное уравнение движения при плоском поперечном изгибе

=

=

Поучаем уравнение состояния

(2.86) - дифференциальное уравнение движения при плоском поперечном изгибе.

В этом уравнении мы пренебрегали силами инерции, связанными с продольными перемещениями, т.е. с поворотами сечения.

Покажем, что такое пренебрежение допустимо для тонких стержней.

Рассмотрим составляющую

Запишем полное выражение для работы сил инерции

Перейдем к безразмерной координате , так что , тогда

- радиус инерции поперечного сечения

- сила инерции

В последнем выражении выделяются две составляющие силы инерции: первая – инерция поперечного перемещения, а вторая – инерция поворота поперечного сечения. Инерция поворота по сравнению с инерцией поперечного перемещения дает поправку порядка . Если определить тонкий стержень как стержень, у которого наибольший поперечный размер имеет порядок 0,1 по отношению к длине, то верхняя оценка погрешности вносимой пренебрежением инерцией поворота равна 0.01. Следовательно, для тонких стержней инерцией поворота можно пренебречь.

Кручение.

Вариационное уравнение Лагранжа

Выражение для потенциальной энергии деформации и работы сил инерции при кручении того же типа, что и при растяжении. Поэтому разрешающие дифференциальные уравнения для кручения будут такого же вида как при одноосном растяжении, заменяем на а

Для однозначного решения задачи следует поставить начальные и краевые условия.