Метод Гира
Одним из одношаговых методов получим решения y1,y2,y3 задачи Коши (7.2,7.2’) в точках x1,x2,x3. В окрестности узлов x0,x1,x2,x3,x4 искомое решение y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона четвертой степени:
| y(x)= + | y0+y01(x-x0)+y012(x-x0)(x-x1)+ y0123(x-x0)(x-x1)(x-x2)+y01234(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3), | (7.25) |
где y01, y012, y0123, y01234 - разделенные разности порядков с первого по четвертый.
Левую часть уравнения (7.2), т.е. производную y’(x), приближенно найдем путем дифференцирования по x полинома (7.25):
| y’(x)= + - | y01+y012(2x-x0-x1)+y0123[3x2-2x(x0+x1+x2)+ x0x1+x0x2+x1x2]+ y01234[4x3-3x2(x0+x1+x2)+2x(x0x1+x0x2+x0x3+x1x2+x1x3+x2x3)- x0x1x2-x0x1x3-x0x2x3-x1x2x3]; | (7.26) |
Разделенные разности для равноотстоящих узлов выражаются через узловые значения аппроксимируемой функции:
| y01 | =(y1-y0) / h, | |
| y012 | =(y2-2y1+y0) / (2h2), | (7.27) |
| y0123 | =(y3-3y2+3y1- y0) / (6h3), | |
| y01234 | =(y4-4y3+6y2-4y1+y0) / (24h4). |
Полагая в (7.26) x=x4 и учитывая (7.27), получим:
| y’(x4)=(3y0-16y1+36y2-48y3+25y4) / (12h). | (7.28) |
C другой стороны, исходное дифференциальное уравнение (7.2) при x=x4 принимает вид:
| y’(x4)=f(x4,y4). | (7.29) |
Приравнивая правые части (7.28) и (7.29), находим:
| y4=[3(4hf(x4,y4)-y0)+16y1-36y2+48y3] / 25. | (7.30) |
Формула (7.30) представляет собой неявную схему Гира четвертого порядка для решения задачи Коши (7.2,7.2’). Выражение (7.30) есть уравнение относительно y4, для решения которого можно применить метод простых итераций. Начальное приближение к y4 можно получить из следующих соображений. Полагая в выражении (7.26) x=x3, имеем:
| y’(x3)=(-y0+6y1-18y2+10y3-y4) / (12h). | (7.31) |
Приравнивая правые части (7.2) при x=x3 и выражения (7.31), получим так называемую схему прогноза
| y4=4hf(x3,y3)+(y0-10y3)/3-2y1+6y2, | (7.32) |
которую и можно использовать в качестве начального приближения для решения уравнения (7.30).
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 2503;