Метод Кутта-Мерсона

Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении величины шага. Схема Мерсона выглядит следующим образом:

(7.14)

где	K₁ = h₃ f(x_m, y_m), h₃=h/3,
	K₂ = h₃ f(x_m+h₃, y_m+K₁),
	K₃ = h f(x_m+h₃, y_m+(K₁+K₂)/2),
	K₄ = K₁+ h₃ f(x_m+h/2, y_m+0,375(K₁+K₃)),
	K₅ = h₃ f(x_m+h, y_m+1,5(K₄ - K₃)).

Эта схема требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но она позволяет на каждом шаге определять погрешность решения R по формуле

R = 0,1(2K₄ - 3K₃ - K₅).

(7.15)

Для автоматического изменения шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины R, вычисленное по формуле (7.15), на (m+1)-м шаге окажется больше допустимой заранее заданной погрешности , т.е. , то шаг h уменьшается вдвое и вычисления по схеме (7.14) повторяются с точки (x_m,y_m). При выполнении условия 32 шаг h можно удвоить начиная с точки (x_m₊₁,y_m₊₁).

Следует обратить внимание, что, если по условиям задачи требуется сохранять в памяти ЭВМ все вычисленные точки до конца решения, то, по сравнению с другими методами, здесь необходимо организовывать массив и для абсцисс точек, т.к. шаг изменения по оси OX - переменный.

На рис. 7.11. в виде блок-схемы представлен алгоритм решения задачи Коши для ОДУ первого порядка методом Кутта-Мерсона.

Рис.7.11. Блок-схема метода Кутта-Мерсона

<8910 11 12 13 14 >

Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 5569;