Метод Адамса

Суть метода Адамса состоит в следующем: одним из одношаговых методов, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка строится искомая интегральная кривая y=y(x) в нескольких точках x₁,x₂,...,x_n, а затем к ним применяются методы аппроксимации для получения решений в новых точках, лежащих как внутри промежутка [x₁,x_n] - (интерполяция), так и за его пределами (экстраполяция).

Рассмотрим четырехточечный вариант метода Адамса для задачи Коши (7.2),(7.2').

С помощью любого из одношаговых методов вычислим решения y₁,y₂,y₃ заданного уравнения в точках x₁,x₂,x₃. Правая часть (7.2) - функция f(x,y) на интегральной кривой, соответствующей начальному условию (x₀,y₀), будет, очевидно, функцией только одного аргумента x: f(x,y) = f(x, y(x)) = f(x), значения которой в рассматриваемых точках обозначим f₀, f₁, f₂, f₃ (f₀ - значение f(x,y) в точке (x₀,y₀), заданной начальными условиями (7.2’)). В окрестности узлов x₀,x₁,x₂,x₃ функцию f(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона

где f₀₁, f₀₁₂, f₀₁₂₃ - разделенные разности.

Представим искомое решение y₄ в точке x₄=x₃+h в виде тейлоровского разложения около точки x₃:

,

(7.21)

где - производные по x от правой части исходного уравнения в точке x₃.

Дифференцируя полином (7.20) получим выражения для производных:

(x)=	f01+f012(x-x0+x-x1)+f0123[(x-x0)(x-x1)+(x-x0)(x-x2)+ (x-x1) (x-x2)]= = f01+f012(2x-x0-x1)+f0123[3x2-2x(x0+x1+x2)+ x0x1+x0x2+x1x2];
(x)=	2f012+2f0123(3x-x0-x1-x2);
(x)=	6f0123.

Эти соотношения при x=x₃ в случае равноотстоящих узлов принимяют вид:

=(2f0+9f1-18f2+119f3) / h ;
=(-f0+4f1-5f2+2f3) / h2 ;	(7.22)
=(-f0+3f1-3f2+f3) / h3 .

Подставляя производные (7.22) в разложение (7.21) получим экстраполяционную формулу Адамса:

(7.23)

имеющую четвертый порядок точности.

Изменяя количество членов, учитываемых в разложении (7.21), можно получить фор­мулы Адамса различных порядков.

Остаточный член формулы (7.23) равен

.

Значительная величина коэффициента ( ) в этом остаточном члене обусловлена тем, что точка x₄ лежит вне интервала расположения узлов, по которым построен полином Ньютона. Т.е. здесь мы имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой всегда больше, чем погрешность интерполяции. С целью уменьшения погрешности можно получить аналогичным способом, но для узлов x₁,x₂,x₃,x₄ интерполяционную формулу Адамса :

(7.24)

Эта формула является неявной, т.к. искомая величина y₄ необходима для вычисления значения функции f₄=f(x₄,y₄) правой части дифференциального уравнения. Выражение (7.24) можно рассматривать как нелинейное уравнение относительно неизвестной y₄ и решать его одним из методов решения трансцендентных уравнений. Обычно здесь используется метод простых итераций, т.к. уравнение (7.24) уже имеет необходимую для этого метода форму . При этом в качестве начального приближения берется зна­чение y₄, определенное по экстраполяционной формуле (7.23).

Формулу (7.23) называют формулой прогноза, а формулу (7.24) - формулой коррекции.

Эти две формулы без труда переносятся на дифференциальные уравнения высоких порядков, записанные в форме Коши.