Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка

На практике часто требуется оценить АЧХ и ФЧХ при минимуме расчетов. С этой целью строят приближенные графики рассматриваемых характеристик по их значениям в нескольких точках, количество которых должно быть минимально достаточным. Такой быстрый способ оценки частотных характеристик называется экспресс-анализом.

Экспресс-анализ АЧХ предполагает заранее известными особенности анализируемой функции: гладкость, количество экстремумов, нулей и др.

Проведем экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка.

Методами математического анализа можно показать, что в основной полосе частот АЧХ звена 2-го порядка (1.81):

- имеет экстремум либо нуль на границах основной полосы, при этом нуль будет наименьшим значением, но не минимумом АЧХ;

- может иметь один максимум и один минимум либо нуль внутри основной полосы, при этом нуль будет наименьшим значением, но не минимумом АЧХ.

При отсутствии нулей АЧХ представляет собой гладкую функцию.

Следовательно, для оценки АЧХ звена 2-го порядка достаточно построить ее график по пяти точкам:

- двум – на границах основной полосы,

- одной (уточняющей) – посередине основной полосы,

- двум – внутри основной полосы, соответствующим максимуму и минимуму (либо нулю) АЧХ.

Полагая, что передаточная функция (1.49) звена 2-го порядка известна, получим формулы экспресс-анализа АЧХ и ФЧХ по следующим пяти точкам

,

где – частота, на которой АЧХ имеет максимум внутри основной полосы (частота максимума АЧХ);

– частота, на которой АЧХ имеет минимум или равна нулю внутри основной полосы (частота минимума или нуля АЧХ).

Определим значения АЧХ и ФЧХ в указанных пяти точках:

1) в точке (рис. 1.15)

; ,

откуда

; (1.83)

; (1.84)

Рис. 1.15. Соответствие значений и

2) в точке (рис. 1.16)

; ,

откуда

; (1.85)

; (1.86)

Рис. 1.16. Соответствие значений и

3) в точке (рис. 1.17)

; ,

откуда

; (1.87)

(1.88)

Рис. 1.17. Соответствие значений и

4) точка определяет местоположение максимума АЧХ, который находится приблизительно на частоте полюса [1]

;

; (1.89)

значение АЧХ в этой точке вычисляется по общей формуле (1.81);

5) точка определяет местоположение минимума АЧХ, который находится приблизительно на частоте нуля передаточной функции при значении [1]

;

, ; (1.90)

значение минимума АЧХ в точке вычисляется по общей формуле (1.81);

если в точке значение , имеем не минимум, а нуль АЧХ и соответственно скачок ФЧХ на .

Строго говоря, на местоположение максимума АЧХ влияют не только полюсы, но и нули, так же, как на местоположение минимума АЧХ влияют не только нули, но и полюсы. Тем не менее доминирующее влияние на местоположение максимума оказывают полюсы, а на местоположение минимума – нули, что и отражается символом приблизительного равенства в (1.89)–(1.90) [1].