Оценка устойчивости по передаточной функции

В п. 1.3.6 при описании ЛДС во временной области рассмотрен критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике. В z-области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция (z-изображение ИХ), существует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции, а именно: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной z-плоскости

, 1, 2,…, , (1.57)

где – k-й полюс ПФ (1.46).

На практике устойчивость рекурсивных ЛДС обычно оценивают по более удобному критерию (1.57) – положению полюсов на карте нулей и полюсов.

1.4.6. Нули и полюсы
передаточной функции звеньев 2-го порядка

Звено 2-го порядка описывается передаточной функцией (1.47). Найдем комплексно-сопряженные полюсы в виде

,

где значения радиуса и угла на комплексной z-плоскости выражаются через коэффициенты и на основании соотношений (1.52) и (1.53) следующим образом:

; (1.58)

. (1.59)

Для вычисления нулей в общем случае следует умножить числитель и знаменатель ПФ (1.47) на

и найти корни уравнения числителя

,

которые могут быть вещественными или комплексно-сопря­жен­ны­ми (в зависимости от знака дискриминанта):

.

Если нули – комплексно-сопряженные

,

их следует представить в показательной форме

, (1.60)

где радиус и угол определяются из (1.31) и (1.32) соответственно:

; .

Если коэффициент , то вычисление комплексно-сопряжен­ных нулей можно упростить: не умножая числитель и знаменатель ПФ (1.47) на , определять нули в виде (1.60), где r°и рассчитываются по формулам подобным (1.53)–(1.54), а именно:

; .

1.5. Описание линейных дискретных систем
в частотной области

В разд. 1.3 рассматривалось описание ЛДС во временной области: импульсная характеристика и соотношение вход/выход в виде формулы свертки либо разностного уравнения. Здесь рассматривается их отображение в частотной области.

Описание ЛДС в частотной области позволяет:

- ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие частотной характеристики; при проектировании большинства систем ЦОС именно к частотным характеристикам предъявляются и выдерживаются требования;

- определять реакцию ЛДС в установившемся режиме не только на гармоническое воздействие, но и на любое воздействие, которое можно представить как линейную комбинацию гармонических воздействий.

1.5.1. Частотная характеристика. Соотношение вход/выход

Основной характеристикой ЛДС в частотной областиявляется фурье-изображение импульсной характеристики , которое определяется по формуле прямого преобразования Фурье

, (1.61)

или для нормированных частоты и времени:

. (1.62)

При известном фурье-изображении импульсная характеристика находится с помощью обратного преобразования Фурье

,

где называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или коротко частотной характеристикой (ЧХ); это математическое определение ЧХ.

Определим ЧХ подобно тому, как это делается для линейных аналоговых систем, относительно которых известно, что гармоническое воздействие вызывает гармоническую реакцию той же частоты, но (в общем случае) другой амплитуды и начальной фазы.

Рассмотрим реакцию ЛДС на дискретное комплексное гармоническое воздействие

(1.63)

с амплитудой и фазой соответственно

; .

Для вычисления реакции воспользуемся формулой свертки (1.13)

откуда с учетом определения ЧХ (1.62)

.

На основании этого частотную характеристику можно представить как отношение

(1.64)

и определить следующим образом.

Частотной характеристикой (ЧХ) ЛДС называется частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.

Подчеркнем, что отношение (1.64) справедливо исключительно для гармонического воздействия и установившегося режима работы ЛДС.

Поясним, смысл «установившегося режима». Теоретически, область изменения гармонического воздействия . Однако на практике имеют дело с условно гармоническим воздействием в области , где время соответствуют началу воздействия. В течение времени ЛДС работает в режиме переходныхколебаний. Спустя время процесс устанавливается и реакция становится периодическим сигналом, поэтому в данном случае имеет смысл говорить о реакции как о гармоническом сигнале в установившемся режиме.

Комплексную функцию можно выразить через ее модуль и аргумент:

. (1.65)

Модуль частотной характеристики называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)

, (1.66)

а аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) ЛДС

. (1.67)

Поясним смысл АЧХ и ФЧХ, для чего перепишем выражение для реакции, подставив в него воздействие (1.63) и ЧХ (1.65):

(1.68)

откуда следует, что реакция на комплексный гармонический сигнал есть тоже комплексный гармонический сигнал той же частоты, что и воздействие, но с частотно-зависимыми амплитудой

и фазой

.

Сопоставив выражения для реакции (1.68) и воздействия (1.63), дадим определения АЧХ и ФЧХ.

Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

.

Фазочастотной характеристикой ЛДС называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

.