Линейные дискретные системы

Системой обработки сигналов (системой) называют объект, выполняющий требуемое преобразование (обработку) входного сигнала в выходной. Системой может быть как физическое устройство, так и математическое преобразование. По умолчанию будем подразумевать системы с одним входом и одним выходом.

Входной сигнал называют воздействием, выходной – реакцией.

Систему называют линейной, если она обладает свойствами:

- аддитивности: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий (принцип суперпозиции);

- однородности: умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент.

Соотношение вход/выход линейной системы описывается линейным уравнением.

Систему называют стационарной, если она обладает свойством инвариантности во времени, в соответствии с которым задержка воздействия на некоторое время приводит к задержке реакции на то же время. Параметры стационарной системы неизменны во времени. По умолчанию будем подразумевать стационарные системы.

Линейная система называется дискретной, если воздействие и реакция представляют собой дискретные сигналы и (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Линейная дискретная система

Начальные условия дискретной системы могут быть нулевымиилиненулевыми. Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции при отсутствии воздействия .

Обозначив начальный момент времени , нулевые начальные условия можно записать в следующем общем виде:

(1.9)

Признаком ненулевых начальных условий является наличие ненулевых значений реакции (свободных колебаний) при отсутствии воздействия.

Дискретная система называется физически реализуемой, если для нее выполняются следующие условия (условия физической реализуемости): при нулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия; значения реакции в каждый момент времени зависят от текущего и предшествующих значений воздействия , , но не зависят от его последующих значений , .

Условия физической реализуемости отображают причинно-следственную связь (принцип причинности).

Линейные дискретные системы (ЛДС) помимо временной области описываются в z-области и в частотной области. В каждой из этих областей для ЛДС определяется:

- основная характеристика;

- соотношение вход/выход.

1.3. Описание линейных дискретных систем
во временной области

Во временной области основной характеристикой ЛДС является импульсная характеристика.

Импульсной характеристикой (ИХ) ЛДС называется ее реакция на цифровой единичный импульс при нулевых начальных условиях (рис. 1.6).

Рис. 1.6. К определению импульсной характеристики

Соотношение вход/выход ЛДС отображает взаимосвязь между ее входным и выходным сигналами, т. е. реакцию ЛДС на произвольное воздействие.

Во временной области соотношение вход/выход может описываться одним из двух разновидностей линейных уравнений:

- формулой свертки (название уравнения), если для определения реакции используется импульсная характеристика;

- разностным уравнением, если для определения реакции используются параметры ЛДС (см. п. 1.3.2).