Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией

1. Кривые, среднее за период значение которых равно нулю, не содержат постоянной составляющей (нулевой гармоники).

2. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(ωt+π), то она называется симметричной относительно оси абсцисс. Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если сместить её на полпериода по оси абсцисс, зеркально отобразить и при этом она сольётся с исходной кривой (рис.6.3), то симметрия имеется. При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем отсутствует постоянная составляющая и все четные гармоники, поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(ωt+π). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)= sin(ωt+ψ₁)+ sin(3ωt+ψ₃)+ sin(5ωt +ψ₅)+···.

3. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=f(-ωt), то она называется симметричной относительно оси ординат (четной). Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отобразить и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.4). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать синусные составляющие всех гармоник ( =0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)=А_о+ cosωt+ cos2ωt+ cos3ωt+···.

4. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt), то она называется симметричной относительно начала координат (нечетной). Наличие данного вида симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат развернуть относительно точки начала координат и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.5). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать косинусные составляющие всех гармоник ( =0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)= sinωt+ sin2ωt+ sin3ωt+···.

При наличии какой-либо симметрии в формулах для и можно брать интеграл за полпериода, но результат удваивать, т.е. пользоваться выражениями

В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу

Вид симметрии	Аналитическое выражение	Ао
1. Оси абсцисс	f(ωt)=-f(ωt+π)	-	Только нечетные
2. Оси ординат	f(ωt)=f(-ωt)	+	-	+
3. Начала координат	f(ωt)=-f(-ωt)	-	+	-
4. Оси абсцисс и оси ординат	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)	-	-	Нечетные
5. Оси абсцисс и начала координат	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)	-	Нечетные	-

Раскладывая кривую в ряд Фурье, следует предварительно выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которой позволяет заранее предсказать, какие гармоники будут в ряде Фурье и не выполнять лишней работы.