ЛИНЕЙНЫЕ И УГЛОВЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ
ИЗГИБЕ
В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность но и на жесткость. Под действием внешних нагрузок сечения балки перемещаются в вертикальном направлении и поворачиваются вокруг нейтральной оси. В силу малости деформации (деформации упругие) принимается, что сечения перемещаются перпендикулярно оси балки и остаются плоскими после поворота. Вертикальные перемещения сечений балки называют прогибами у, поворот сечений - углом поворота 
. Искривленная ось балки после деформации называется упругой линией балки(рис. 4.).
Упругую линию балки можно рассматривать как график некоторой
функции, определяемой характером нагружения балки, ее размерами и ма
териалом.
Приближенное дифференциальное уравнение упругой балки постоянного сечения записывается в следующем виде:
(9)
Здесь Mz - уравнение изгибающих моментов, как аналитическое выражение закона изменения изгибающего момента по длине балки.
Для определения углов поворота и прогибов необходимо проинтегрировать левую и правую части уравнения (9):
Рис. 4. К определению прогибов, углов поворота и упругой линии балки при плоском изгибе.
- уравнение углов поворота (10)
Интегрируем второй раз:
- уравнение упругой линии балки. (11)
Постоянные интегрирования С и D определяются из граничных условий
на балке. Отметим, что 
- представляют собой угол
поворота 
и прогиб С0 в начале координат.
Порядок интегрирования дифференциального уравнения показан на примере балки на рис. 4. При составлении уравнения изгибающего момента и порядка интегрирования необходимо выполнение следующих условий, предложенных Бубновым-Клебшем::
1. Отсчет абсцисс z производить от одного начала координат.
2. Сосредоточенный момент должен иметь множитель-скобку M(z-c)0, в нулевой степени; где с - расстояние от начала координат до сечения, где приложен момент.
3. Момент от сосредоточенной нагрузки должен иметь множитель-скобку (z-d)1, где d - расстояние от начала координат до сечения, где приложена сосредоточенная сила.
4. Распределенная нагрузка начавшись на балке, не должна прерываться. Ее нужно продлить до конца балки, а добавленный участок нагрузки компенсировать нагрузкой, направленной в противоположную сторону от добавленной.
5. Интегрирование необходимо вести без раскрытия скобок.
6. При соблюдении вышеуказанных условий при интегрировании дифференциального уравнения определяется только две постоянных интегрирования.
Следуя указанным условиям дифференциальное уравнение, для рассматриваемой балки (рис.4) примет вид:
В соответствии с формулой (9) приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки (рис. 4) примет вид:
(12)
Проинтегрировав уравнение (12) один раз получим уравнение углов поворота:
(13)
Проинтегрировав уравнение (12) дважды получим уравнение прогибов:
(14)
Произвольные интегрирования С и D определяются из граничных условий на балке:
1. 
; отсюда D=0, так как 
- прогиб в начале координат.
2. 
отсюда определяем C: 
- угол в начале координат.
Значение С подставляется в уравнения (13) и (14), затем вычисляются значения прогибов у и углов поворота 
по длине балки.
Условие жесткости балки по линейным перемещениям имеет вид:
(15)
где уmах - максимальный прогиб; ку - коэффициент, определяемый с эпюры прогибов у; [у] - допускаемый прогиб балки, обычно рекомендуется [у]=(0,001…0,002)L, где L-длина балки.
Условие жесткости по угловым перемещениям имеет вид:
(16)
где 
- максимальный угол поворота сечений балки; 
- коэффициент, определяемый с эпюры углов поворота; 
- допускаемый угол поворота балки.
Если прочность балки обеспечена, а условие жесткости не выполняется, то задача решается из условия жесткости.
Дата добавления: 2015-03-26; просмотров: 1748;