ПРИМЕР 1. Задается:схема нагружения балки (рис

Задается:схема нагружения балки (рис. 5), длины участков балки: а, с=3а, распределенная нагрузка интенсивностью q, сосредоточенная сила F, изгибающий момент M=2qa².

Требуется:построить эпюры перерезывающей силы Q_y и изгибающего момента М_х при заданной внешней нагрузке и схеме нагружения балки.

Рис. 5. Схема нагружения балки.

РЕШЕНИЕ

1. Определение опорных реакций (рис. 5).

Для определения опорных реакций составляются уравнения равновесия балки:

откуда

откуда

Впоследствии нет необходимости составлять уравнение равновесия при плоском изгибе, так как при указанной схеме нагружения со­ставляющая Н_А всегда равна нулю.

Проверка:

2.Разбивка балки на участки.

Для построения эпюры поперечной силы Q_y и изгибающих моментов М_х необходимо рассмотреть два участка с координатами z₁ и z₂ (рис. 5).

3. Определение законов изменения поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_х по участкам балки. Начало рассматриваемых участков необ­ходимо обозначить точкой, текущее значение z₁ стрелкой. Начало после­
дующего участка начинается на границе предыдущего участка.

3.1 Первый участок (рис. 6).

Рис. 6. К определению Q_yi и M_xi на первом участке.

Координата z₁ для первого участка изменяется в пределах . Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части балки имеют вид:

Перерезывающая сила на границах участка принимает значения:

При z₁=0; при

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

При z₁=0; при

В координатах M_x1-z₁ полненное выражение изгибающего момента M_x1 описывает кривую второго порядка. Определим вьшуклость кривой:

следовательно кривая M_x1 = выпукла вверх.

Условие экстремума кривой M_x1 =

Следовательно, функция M_x1 = имеет экстремум за границами первого участка при z_1экс =

3.2. Второй участок (рис. 7).

Рис. 7. К определению Q_y2 и М^ на втором участке.

На втором участке координата z₂ изменяется в пределах 0 < z₂ < с.

Уравнения равновесия для отсеченной (правой) части балки имеют вид:

На втором участке перерезывающая сила постоянна по длине участка и равна

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при z₂=0; при

По результатам вычислений строятся эпюры поперечной силы Q_y и из­гибающего момента М_х (рис. 8).

4. Проверка правильности построения эпюр Q_y и М_х. В соответствии с правилами контроля построения:

- на участке АС, где действует распределенная нагрузка q, эпюра Q_y -наклонная прямая, а эпюра М_х - кривая второго порядка;

- на участке СВ, где отсутствует распределенная нагрузка q, эпюра Q_y -параллельна оси абсцисс z, а эпюра М_х - наклонная кривая;

- на участках АС и СВ, где Q_y отрицательна, эпюра М_х убывает;

- в сечениях А, С и В, где приложены внешние сосредоточенные силы и на эпюре Q_yимеют место «скачки» на величины этих сил R_A, Fи R_B;

- в сечении А, где приложен внешний сосредоточенный момент М = qa², на эпюре М_х должен быть «скачок» на величину момента М.

Рис. 8. Расчетная схема балки, эпюры поперечной силы Q_y

и изгибающего момента М_х.