Глава 3. НАУКА В СРЕДНЕВЕКОВЬЕ 14 страница

Разумеется, любой серьезный сдвиг в научном познании подготавливается многими обстоятельствами (экономическим, социальным и культурным прогрес­сом, накоплением принципиально новых научных фак­тов, значительным повышением точности способов измерения и т. п.). Но само преобразование старой теории или создание новой начинается чаще всего с неудовлетворенности прежними понятиями и принци­пами. Как известно, переосмысление и уточнение та­ких понятий, как «инерция», «скорость», «ускорение», позволили Галилею заложить основы классической механики. Подобно этому А. Эйнштейн, создавая час­тную теорию относительности, переосмыслил принцип относительности, подверг тщательному анализу такие классические абстракции, как «абсолютное время», «абсолютное пространство» и придал строгий факту-альный смысл понятию «одновременности» событий.

Весьма симптоматично звучат слова, которыми открываются знаменитые «Геометрические исследова­ния» Н.И. Лобачевского: «В геометрии я нашел некото­рые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука... до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отно­шу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий»¹.

Любая строгая теория основывается на некоторой совокупности явно неопределяемых в рамках самой теории понятий и допущений, образующих ее концеп­туальный базис. Обращение науки к своим основам есть поэтому прежде всего пересмотр концептуально­го базиса, который, однако, вовсе не является после­дней основой науки, ибо он сам, в свою очередь, по­гружен в более широкую понятийную сферу. Эта сфе­ра представляет собой метатеоретический уровень научного знания, включающий в себя эпистемологи­ческие постулаты и фундаментальные абстракции, выражающие основные требования к научному позна­нию в рамках той или иной науки или научного направ­ления. Так, вся система понятий классической физики, как неоднократно подчеркивал Нильс Бор, основана на допущении, что можно отделить поведение материаль­ных объектов от вопроса об их наблюдении. Осозна­ние указанного допущения, превращение его с помо­щью рефлексии в ясно формулируемую абстракцию привели к уточнению границ ее применимости на уровне микромира, а также к выявлению не замечен­ных ранее предпосылок для однозначного приложения классического способа описания, к такому пересмотру основ физики, который затронул само понятие физи­ческого объяснения¹.

Вопросы такого рода выходят далеко за пределы частнонаучного уровня знания. Речь идет не только об изменении концептуального базиса теории, «тела» науки, но и о преобразовании ее «духа», ее «образа», ее методологии. Это движение от предметного пласта

специально-научного знания к различным пластам знания методологического знаменует собой обращение ученого к таким надтеоретическим образованиям, как научная картина мира, стиль мышления, парадигма, нормы и идеалы научного исследования. Внутритеоре-тическая рефлексия над основаниями знания неизбеж­но сменяется рефлексией метатеоретической. Внима­ние исследователя приковывается к вопросам такого рода, как достоверность получаемых наукой фактов, точность определения вводимых понятий, строгость проводимых рассуждений и доказательств, их соответ­ствие принятым канонам.

Поскольку наука исторически может формиро­ваться и развиваться лишь в том или ином социокуль­турном контексте, то отсюда следует, что методологи­ческие слои знания существуют не сами но себе, а всегда так или иначе встроены в более широкую об­щекультурную «матрицу», слагающуюся из господ­ствующих в данную эпоху мировоззренческих уста­новок, ценностных предпочтений, идей и категорий. Обращение теоретика к основаниям предпосылочного типа образует третий виток рефлексии, имеющей ясно выраженный философский характер. При этом диалек­тика научного познания раскрывается не только в трансформациях одной формы рефлексии в другую, ох­ватывающую все более широкое предметное поле ана­лиза, но и в диалектическом обогащении самого типа рефлексии. «Так, если внутритеоретический тип реф­лективности фактически совпадает с процедурой внут­ренней теоретизации, то на метатеоретической ступе­ни происходит своеобразное «удвоение» знания, рас­щепление его на объективное и метатеоретическое, а на уровне философской рефлексии познавательная де­ятельность отчуждает себя до той степени, когда путем самоотнесения осмысливается ракурс «слияния», вза­имопроникновения субъективного в объективное, дру­гими словами — мера объективности истины»¹. Фило-софско-методологическая рефлексия позволяет прояс­нить и осознать те предельные онтогносеологические и культурно-исторические предпосылки и допущения, которые неявно принимает исследователь в своей на­учной практике. Выявляя и осмысляя «предельные основания», исходные принципы анализа научного познания и связывая их с философской проблемати­кой взаимоотношения мышления и бытия, субъекта и объекта, истины и заблуждения, гносеологический подход к научному познанию задает теоретическую перспективу логико-методологическому анализу науки, ориентирует его на дальнейшее углубление в предмет, препятствует абсолютизации различного рода частных логико-методологических моделей и подходов¹.

Следует отметить, что последний период развития методологической мысли характеризуется усиливаю­щимся интересом именно к проблемам указанного типа. Этот сдвиг в ориентациях методологических исследо­ваний является сегодня весьма показательным и пло­дотворным по своим результатам. Он отражает глубин­ную и устойчивую тенденцию в развитии философс­кой и общеметодологической культуры: от понимания субъекта познания в духе «гносеологической робинзо­нады» философская мысль движется ко все более кон­кретному постижению его во всей полноте социокуль­турных характеристик. Мощный импульс этому дви­жению мысли был дан, как известно, еще в знаменитых «Тезисах о Фейербахе» К. Маркса.

Необходимость выдвижения на передний план гносеологической проблематики в исследованиях по методологии науки определяется в настоящее время как внутренней логикой развития философских изысканий, так и уроками негативного опыта, вытекающего из эволюции логического позитивизма (и аналитических школ) к современным постпозитивистским течениям. Едва ли не важнейший урок, который следует из этого опыта, состоит в том, что выяснилась прямая зависи­мость тех или иных методологических построений от

исходных общефилософских и гносеологических уста­новок. Полемика между такими видными представите­лями постпозитивистских течений, как К. Поппер, Т. Кун, И. Лакатош, С, Тулмин, П. Фейерабенд и др., показала, что проблемы оснований научного знания не могут сегодня рассматриваться сколько-нибудь серь­езно без обращения к традиционным философским вопросам (структура реальности, природа универса­лий, отношение между понятием и вещью, критерии научности и рациональности, истина и др.). Вместе с тем становится ясно и другое: анализ традиционных гносеологических проблем оказывается сегодня тем более продуктивным, чем активнее философ обраща­ется к тому гигантскому интеллектуальному опыту, который накопила современная наука как на своем предметном, так и частно-методологическом уровнях. Сказанное позволяет сделать вывод о том, что наибо­лее плодотворный путь исследования проблем методо­логии науки в условиях современной гносеологической ситуации — это путь рассмотрения их через призму универсальных теоретико-познавательных принципов и категорий, но с учетом того, что сами эти принципы и категории мыслятся в связи с выдвигаемыми наукой кардинальными проблемами и в контексте наработан­ной ею методологической культуры.

Названный путь конституирует как бы новое из­мерение методологического сознания благодаря тому, что он позволяет сомкнуть две существовавшие долгие годы параллельно линии в эволюции форм рефлек­сии — внутринаучную и общефилософскую.

Одной из центральных проблем, возникающих на стыке внутринаучной и общефилософской рефлексии, оказалась диалектика объективного и субъективного в рамках, казалось бы, самых точных дисциплин совре­менной науки — математики и физики. Как уже отме­чалось в своем месте, метод формализации начинает­ся с четкого разграничения формального и содержа­тельного планов, а заканчивается тем, что вовлекает оба плана в тонкую диалектическую игру. Предметная теория необходимо должна иметь некоторую надстрой­ку в виде «второго этажа» знания — метатеорию. Фор­мализованная теория дополняется некоторым содержа­тельным знанием. Абстракция формализуемости зна­ния наталкивается на первое естественное ограниче­ние: формализованная теория может существовать лишь в виде предметной (объектной) теории, дополня­емой метатеорией. Субъект (вообще субъективная ре­альность) не изгоняется из теории, он продолжает входить в нее некоторым не поддающимся контролю способом. Это обстоятельство, однако, не ослабляет требований научной рациональности, ибо благодаря формализации устанавливается четкая граница, в рам­ках которой гарантируется возможность полной абст­ракции от субъективной сферы.

Опыт исследований по основаниям математики показал, что, во-первых, полная элиминация субъекта как с точки зрения процесса, так и результата позна­ния невозможна, во-вторых, можно указать такие гра­ницы, такой интервал абстракции, внутри которого отвлечение от субъективного фактора рационально обосновано. Все дело только в том, что эта граница является диалектически подвижной (но каждый раз конкретно фиксируемой!).

Любопытно, что с ситуациями аналогичного типа приходится сталкиваться уже при анализе обычных процессов человеческого восприятия. Рассмотрим элементарный пример. Испытуемому предъявляется белое пятно на черном фоне. Является ли данное пят­но объективным фактом? Можно долго спорить на эту тему, если забыть, что истина всегда конкретна. Для осмысления ответа на вопрос следует однозначно оп­ределить обстоятельства рассмотрения проблемы. Если органы чувств рассматриваются как «приборы, встроенные в человека», то показания этих приборов не могут не выступать как «объективно данное» в за­данном интервале абстракции.

Однако человек может критически отнестись к показаниям своих органов чувств и поставить перед собой вопрос: соответствуют ли данные ощущения объективной реальности? Для того чтобы адекватно решить этот вопрос, нужно выйти за рамки данного интервала. Но это нельзя сделать только в уме, только

изменив «точку зрения» или «аспект рассмотрения». Необходимо преодолеть реальную границу. В контек­сте анализа процессов восприятия выход за рамки исходного интервала мыслим двумя способами. Пер­вый — использование показаний другого органа чувств (напр., классический опыт с очками, искажающими положение или структуру наблюдаемого объекта; при­ток дополнительной информации, получаемый с помо­щью осязания, восстанавливает объективную картину). Второй — осуществление практического взаимодей­ствия отражаемой вещи с какой-либо другой; в зави­симости от того, получили ли мы ожидаемый эффект, можно судить об адекватности наших ощущений.

Подвижность границ между субъектом и объек­том, порождающая «многоинтервальную» структуру взаимопереходов объективного и субъективного, в истории науки впервые проявилась в полной мере при изучении микромира. Анализируя эту сторону дела, В.А. Фок отмечает, что взаимодействие между атом­ным объектом и измерительным прибором имеет два аспекта— гносеологический и физический¹. Всегда существует граница между той частью экспери­ментальной установки, которая описывается кванто-во-механическими средствами и рассматривается как объект, и той ее частью, которая описывается клас­сическими средствами и рассматривается как прибор. Эта граница обязана своим происхождением приме­няемому способу описания. Для того, чтобы исследо­вать физическое взаимодействие между указанными частями экспериментальной установки, «необходимо провести новую границу, включив в квантово-меха-ническую часть кое-что из того, что раньше относи­лось к классической части устройства... Если отобрать те случаи, в которых промежуточная часть (сперва трактовавшаяся как классическая, а затем как кван-тово-механическая) определенным образом прореаги­ровала (например, произошло почернение фотоплас­тинки), то получится утонченная теория первоначаль-

' Фок В.А. Дискуссия с Нильсом Бором // Вопросы филосо­фии, 1964, №8. С. 52.

ного измерительного прибора. Но при этом возникает новая «гносеологическая граница». На что я особен­но хотел бы обратить внимание — это возможность исследовать физические процессы в любом месте экспериментальной установки»¹.

Из сказанного можно заключить, что установка научной рациональности классического естествозна­ния, согласно которой субъективная реальность, пони­маемая как нечто исторически абстрактное, противо­стоит объективному миру согласно раз и навсегда за­данной границе, не соответствует ведущим тенденциям современной науки. Сегодня все большую эвристичес­кую значимость приобретает методология рефлексив­ного подхода, рассматривающего поле взаимодействия субъекта и объекта как многомерное образование, в котором лишь посредством конкретного анализа мож­но в каждом отдельном случае выделить пространство противостояния субъективного и объективного. С по­явлением все новых «человеческих измерений» науки, с углублением «мировоззренческого понимания сущ­ности и человеческого значения» получаемого наукой знания², роль названного подхода будет усиливаться. Таким образом, все многообразие методов научного исследования можно разбить на три относительно не­зависимых кластера (множество внутренне взаимосвя­занных и взаимодополняющих друг друга элементов, образующих некоторую целостность):

1) методы эмпирического познания (научное наблю­дение, эксперимент, измерение, использование приборов, эмпирическое обобщение, выдвижение эмпирических гипотез, формулировка эмпиричес­ких законов, их эмпирическое подтверждение, фальсификация, экстраполяция и др.);

2) методы теоретического познания (идеализация, мысленный эксперимент, математическая гипоте­за, логическое доказательство, формализация, кон­струирование теоретических схем, их интерпрета­ция, построение научных теорий и др.); 3) методы метатеоретического познания (выдвижение и формулировка общенаучных принципов, картин мира, рефлексия, экспликация философских и со­циокультурных оснований отдельных наук и пара-дигмальных теорий и др.).

Характерно то, что каждый из указанных выше методологических кластеров наиболее приспособлен к обслуживанию именно определенного уровня научно­го знания (эмпирического, теоретического или мета­теоретического). Разумеется, это не отменяет исполь­зования в науке и общегносеологических познаватель­ных процедур, применяющихся и в других видах познавательной деятельности (обыденное познание, философия, мифология, искусство, религия). К этим процедурам относятся — абстрагирование, описание, номинация, денотация, анализ, синтез, индукция, де­дукция, объяснение, понимание, интерпретация и др. Однако, необходимо иметь ввиду, во-первых, что ис­пользование этих общегносеологических средств име­ет в науке свои особенности, обусловленные их замы­канием на получение и обоснование именно научного знания как специфического продукта когнитивной деятельности, а, во-вторых, что действие общегносео­логических методов и средств познания всегда вписа­но и подчинено в научном познании в один из трех описанных выше методологических кластеров науки.

Глава 4

РАЗВИТИЕ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ

Данная проблема философии науки имеет в себе три аспекта. Первый. Что составляет сущность дина­мики науки? Это просто эволюционное изменение (рас­ширение объема и содержания научных истин) или развитие (изменение со скачками, революциями, каче­ственными отличиями во взглядах на один и тот же предмет) ? Второй вопрос. Является ли динамика науки процессом в целом кумулятивным (накопительным) или антикумулятивным (включающем постоянный отказ от прежних взглядов как неприемлемых и несоизмери­мых с новыми, сменяющими их)? Третий вопрос. Мож­но ли объяснить динамику научного знания только его самоизменением или также существенным влиянием на него вненаучных (социокультурных) факторов? Оче­видно, ответы на эти вопросы нельзя получить, исходя только из философского анализа структуры сознания. Необходимым является также привлечение материала реальной истории науки. Впрочем, столь же очевидно, что история науки не может говорить «сама за себя», что она (как и всякий внешний опыт) может быть по-разному проинтерпретирована, «рационально рекон­струирована». Тип этой рациональной реконструкции существенно зависит от выбора, предпочтения, оказы­ваемого той или иной общей гносеологической, фило­софской позиции (сенсуализм — рационализм, эмпи­ризм — теоретизм, имманентизм — трансцендента­лизм, редукционизм — антиредукционизм и т. д.).

Обсуждение сформулированных выше вопросов заняло центральное место в работах постпозитивистов

Глава 4. Развитие научного знания

(К. Поппера, Т. Куна, И. Лакатоса, Ст. Тулмина, П. Фей-ерабенда, М. Полани и др.) в отличие от их предше­ственников — логических позитивистов, считавших единственным «законным» предметом философии на­уки логический анализ структуры ставшего («готово­го») научного знания. Поскольку ответы на вопросы о динамике научного знания нельзя дать без обращения к материалу истории науки, именно последняя была объявлена постпозитивистами «пробным камнем» ис­тинности ее реконструкций. Однако при этом часто забывалась другая сторона, а именно, что предлагае­мые постпозитивистами модели динамики научного знания не только опирались на историю науки, но и предлагали («навязывали») ее определенное видение. Это «видение» заключалось, в частности, не только в различном понимании механизма функционирования и динамики науки, но и вытекающих из него с необхо­димостью различных вариантов разделения компонент науки на внутренние и внешние. Так, с точки зрения попперовской модели динамики научного знания, про­цесс открытия научных законов — внешний фактор для истории науки, тогда как для М. Малкея и Дж. Гилбер­та — внутренний. С позиций большинства постпозити­вистов психологические и социальные детерминанты принадлежат к внешней истории науки, тогда как Т. Кун, М. Полани, П. Фейерабенд частично включают их во «внутреннюю историю» науки. Для Поппера фак­ты — абсолютная ценность науки, они бесспорны (хотя и конвенциональны), общезначимы и кумулятивны. С позиций Т. Куна они относительно ценны, необщез­начимы (их истолкование зависит от принятой господ­ствующей теории— «парадигмы»), а в целом факту-альное знание — некумулятивно.

Говоря о природе научных изменений, необходимо подчеркнуть, что хотя все они совершаются в научном сознании и с его помощью (т. е. отвечают его внутрен­ним разрешающим возможностям и регулируются его структурой), их содержание зависит не только и не столько от сознания, сколько от результатов взаимо­действия научного сознания с определенной, внешней ему объектной реальностью, которую оно стремится постигнуть (в конечном счете— отгадать). История науки — это не логический процесс развертки содер­жания научного сознания, а когнитивные изменения, совершающиеся в реальном историческом простран­стве и времени. Далее, как убедительно показывает реальная история науки, происходящие в ней когни­тивные изменения имеют эволюционный, т. е. направ­ленный и необратимый характер. Это означает, напри­мер, что общая риманова геометрия не могла появить­ся раньше евклидовой, а теория относительности и квантовая механика — одновременно с классической механикой.

Иногда это объясняют с позиций трактовки науки как обобщения фактов; тогда эволюция научного зна­ния истолковывается как движение в сторону все боль­ших обобщений, а смена научных теорий понимается как смена менее общей теории более общей. В логике «степень общности» вводится обычно экстенсивно. Понятие А является более общим, чем понятие В, если и только если все элементы объема понятия В входят в объем понятия А, но обратное не имеет место. Взгляд на научное познание как обобщение, а на его эволю­цию как рост степени общности сменяющих друг дру­га теорий — это, безусловно, индуктивистская концеп­ция науки и ее истории. Индуктивизм был господству­ющей парадигмой философии науки вплоть до середины XX века. В качестве аргумента в ее защиту был выдви­нут так называемый принцип соответствия, согласно которому отношение между старой и новой научной теорией (должно быть) таково, чтобы все положения предшествующей (и тем самым все факты, которые она объясняла и предсказывала) выводились в качестве частного случая в новой, сменяющей ее теории. В ка­честве примеров обычно приводились классическая механика, с одной стороны, и теория относительности и квантовая механика, с другой; синтетическая теория эволюции в биологии как синтез дарвиновской концеп­ции и генетики; арифметика натуральных чисел, с одной стороны, и арифметика рациональных или дей­ствительных чисел, с другой,евклидова и неевклидова геометрии и др. Однако, при ближайшем, более стро-

Глава 4. Развитие научного знания

гом анализе соотношения понятий указанных выше те­орий, никакого «частного случая» или даже «предель­ного случая» в отношениях между ними не получается. Рассмотрим, например, уравнение, связывающее зна­чения масс в классической и релятивистской механике:

Это уравнение безусловно говорит о том, что с

увеличением V т — возрастает, т. к. м_

умень-

шается. При V = 0, m = m₀, но это лишь один случай самой классической механики, притом ее статики, но не динамики. При V = с — уравнение не имеет мате­матического смысла. А ведь только при рассмотренных значениях V возможно логическое выведение значе­ния массы тела в классической механике из уравне­ний массы тела релятивистской механики в качестве частного случая. «Частного случая» не получилось. Тогда, может быть, более осмысленным является тол­кование классической механики в качестве «предель­ного случая» релятивистской механики? В самом деле, при последовательном уменьшении V значение m все больше приближается к значению т₀, но никогда его не достигает (по самому смыслу релятивистской меха­ники), поэтому т₀ не может быть рассмотрено и в качестве «предельного случая» т, так как это возмож­но только при исчезновении самого движения тела (при V = 0). Ясно, что выражение «предельный случай» имеет очень нестрогое и скорее метафорическое зна­чение. Очевидно, что масса тела либо меняет свою величину в процессе движения, либо нет. Третьего не дано. Классическая механика утверждает одно, реля­тивистская — прямо противоположное. Они несовме­стимы и, как показали постпозитивисты, несоизмери­мы, т. к. у них нет общего нейтрального эмпирического базиса. Они говорят разные и порой несовместимые вещи об одном и том же (массе, пространстве, време­ни и др.).

Аналогичные возражения можно привести и в от­ношении других «любимых примеров» кумулятивистов. Классическая механика: можно одновременно задать точное значение двух переменных — координаты фи­зического тела и его импульса. Квантовая механика: этого сделать принципиально нельзя, если, конечно, не пренебрегать значением постоянной Планка, наклады­вающей количественное ограничение на предел мак­симально допустимой одновременной точности этих сопряженных величин.

Современная синтетическая эволюция не есть аддитивная сумма положений аутентичной дарвинов­ской теории эволюции и, скажем, менделевской гене­тики. Они противоречат друг другу в понимании ха­рактера эволюции: номогенез в дарвиновской теории эволюции видов через естественный отбор и в общем случайный (неконтролируемо-многофакторный) харак­тер эволюции в современной синтетической теории.

То же самое отрицательное заключение можно сделать и в отношении применения принципа соответ­ствия к эволюции математического знания (принцип Ганкеля). Строго говоря, неверно утверждать, что ариф­метика действительных чисел является обобщением арифметики рациональных чисел, а последняя — обоб­щением арифметики натуральных чисел. Начнем с опровержения последнего утверждения. Как известно,

m

рациональные числа имеют вид —, где тип — на-

п

туральные числа, то есть рациональные числа суть от­ношения между натуральными числами, а не сами эти числа. Одним словом, рациональное число — это фун­кция от двух переменных, и ее формальным синтакси­ческим эквивалентом является двухместный предикат А(х, у), где х и у — натуральные числа. Конечно, когда

результатом деления Г£ является целое число, особен-п

но в случаях, когда n = 1, тогда значение функции £1

п

является одним из натуральных чисел. Более правиль­но сказать, что натуральные числа могут быть рассмот­рены как правильное подмножество множества раци­ональных чисел. Но это еще не означает, что натураль­ные числа являются частью множества рациональных

m

чисел, так как числа вида — остаются все же рацио­нальными, а не натуральными числами. Другое дело, что каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одно и только одно рациональное число

m „

вида —. В этом случае говорят, что множество нату­ральных чисел может быть «изоморфно вложено» в множество рациональных чисел. Обратное неверно. Но быть «изоморфно вложенным» отнюдь не означает быть «частным случаем». «Частным случаем» рациональных чисел является подмножество рациональных же чисел

'2 3 4 100 ^ J'1'Г"" 1 ' ные числа. То же самое с соответствующими поправка­ми можно сказать и о соотношении рациональных и действительных чисел и, соответственно, о взаимосвязи арифметики рациональных чисел и арифметики дей­ствительных чисел. Действительные числа — это числа

вида г._],Ъ_]Ъ₂Ь₃Ъ₄..., где а^Ь^Ь-^Ь.,,^ — любые нату-
ральные числа. Действительные числа по своему син-
таксическому представлению — это бесконечно-мест-
ные предикаты вида А(х, у, z, ...), тогда как рациональ-
ные — только двухместные. Конечно, можно установить
изоморфизм соответствия между подмножеством дей-
ствительных чисел вида а,, b,b₂b₃b₄________________ (когда

b,,b,,b,,b₄... равны 0) и множеством рациональных чисел. Однако все дело в том, что именно благодаря символу «...», означающему «бесконечность», множе­ство действительных чисел не просто бесконечно (как множество натуральных и рациональных чисел), но несчетно-бесконечно, тогда как множество рациональ­ных чисел— счетно-бесконечно. И здесь принцип Ган-келя «не работает»: арифметика действительных чисел не является обобщением арифметики рациональных чисел, а последняя, соответственно, частным случаем первой.

Рассмотрим, наконец, соотношение евклидовой и неевклидовых геометрий. Последние не являются обобщением первой, так как синтаксически многие их утверждения просто взаимно противоречат друг дру­гу. В евклидовой геометрии через одну точку на плос­кости по отношению к данной прямой можно прове­сти только одну параллельную ей прямую линию; сумма углов любого треугольника равна строго 180°; отношение длины окружности к ее диаметру равно п. В геометрии Лобачевского: через одну точку на плос­кости по отношению к данной прямой можно прове­сти более одной параллельной ей прямой линии, сум­ма углов любого треугольника всегда меньше 180°, от­ношение длины окружности к диаметру всегда больше п. Частная риманова геометрия: через точку на плос­кости по отношению к данной прямой нельзя прове­сти ни одной параллельной ей линии, сумма углов любого треугольника всегда больше 180°, отношение длины окружности к диаметру всегда меньше ж. Ко­нечно, ни о каком обобщении геометрий Лобачевско­го и Римана по отношению к геометрии Евклида гово­рить не приходится, так как они просто противоречат последней.

Правда, оказалось, что противоречия между ними можно избежать, если дополнительно ввести такой параметр, как кривизна непрерывной двухмерной по­верхности. Тогда их удается «развести» по разным предметам. Утверждения геометрии Евклида оказыва­ются верными для поверхностей с коэффициентом кривизны 0 («старые добрые плоскости»). Положения геометрии Лобачевского выполняются на поверхнос­тях с постоянной отрицательной кривизной (коэффи­циент кривизны имеет одно из фиксированных значе­ний в континууме {о....-l}, исключая крайние значе­ния. Утверждения частной римановой геометрии, на­против, выполняются на поверхностях с постоянной положительной кривизной (коэффициент кривизны имеет одно из фиксированных значений в контину­альном интервале {о....-t-l}, исключая крайние значения. Таким образом, возможна только одна евклидова гео­метрия и бесконечное множество геометрий Лобачев­ского и Римана. Впоследствии Риман обобщил все эти случаи в построенной им общей римановой геометрии, где кривизна пространства является не постоянной, а переменной величиной. Однако, это чисто формальное обобщение, никак содержательно не влияющее на решение вопроса о соотношении евклидовой и неевк­лидовых геометрий.