Скорость точки

Быстроту движения точки характеризует ее скорость, к определению которой мы сейчас переходим. Пусть в момент времени точка находится в положении , которое

Рис.1.4

определяется радиусом–вектором , а в момент переходит в положение , радиус–вектор которого (Рис.1.4). Вектор называется вектором перемещения точки за время . Если разделить вектор перемещения на , получим вектор того же направления, что и , который определяет среднюю по модулю и направлению скорость точки за время . Понятно, что средняя скорость зависит от выбранного промежутка времени и тем точнее характеризует быстроту движения, чем меньшим выбран промежуток времени .

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло, при величине промежутка времени, стремящейся к нулю:

(1.3)

Таким образом,

вектор скорости равен первой производной по времени от радиуса-вектора точки.

В пределе при секущая , по которой направлен вектор средней скорости, занимает положение касательной к траектории в точке . Следовательно,

вектор скорости направлен по касательной к траектории, причем в сторону движения точки.

Пусть движение точки задано в координатной форме, т.е. уравнениями (1.1). Используя равенство (1.2) и учитывая, что орты координатных осей со временем не изменяются, получаем:

(1.4)

Таким образом,

проекции вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

(1.5)