Уравнение с разделяющимися переменными
у' = f1(x)×f2(y).
Решение.
dy/dx = f1(x)×f2(y) |× dx/ f2(y), f2(y) ≠ 0,
dy/ f2(y) = f1(x)× dx,
общее решение (общий интеграл) уравнения.
Случай f2(y) = 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.
Пример 2.11. Решить уравнение 
Решение.
dy/dx = у2сosx |× dx/у2, у ≠ 0,
dy/у2 = cosxdx,
–1/y = sinx + C,
y = –1/(sinx + C) – общее решение.
Рассмотрим случай у = 0.
Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:
0' = 02cosx, 0 = 0 – верно Þ у = 0 – решение уравнения.
Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.
Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.
2.81. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2. Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения решают с помощью замены
После подстановки z и 
в исходное уравнение получается уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 1).
2.82. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
3. Линейные уравнения 1-го порядка
у' + p(x)×y = f(x),
где p(x), f(x) – непрерывные функции.
Пример 2.12. Решить уравнение у' + xy = x.
Решение.
Пусть 
тогда 
и уравнение принимает вид 
Группируя первое и третье слагаемые, получаем
Равенство будет верным, если 
Найдем частное решение первого уравнения системы:
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:
C помощью замены 
получаем общее решение: 
Подставляя найденные решения 
и 
в равенство получаем решение исходного уравнения:
Ответ: 
Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид
Пример 2.13.
Решить задачу Коши 
Решение.
Найдем общее решение уравнения 
:
dy/dx = х2у |× dx/у, у ≠ 0,
dy/у = x2 dx,
ln|y| = х3 /3 + С.
Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у(2) = 1):
ln|1| = 23 /3 + С,
0 = 8/3 + С Þ С = – 8/3.
Подставляя это значение в общее решение, получаем
Ответ: ln|y| = (х3 – 8)/3.
2.83. Решить уравнение или задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 750;