Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим . Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Пример.Скорость размножения некоторых бактерий пропорционально количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени. Известно, что количество бактерий за один час утроилось. Как изменится количество бактерий через 5 часов, если первоначальное количество равно a.

Решение. Пусть х — количество бактерий в момент времени t. Переменная величина х является функцией переменной величины t. Скорость изменения величины х выражается производной . По условию задачи дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вид , где k — некоторый коэффициент пропорциональности. Разделим переменные и решим составленное уравнение:

откуда , или — общее решение уравнения.

Значение произвольной постоянной С определяем из начальных условий: при t = 0, х = а. Следовательно, ; C = a. Таким образом, , или — есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Чтобы определить коэффициент пропорциональности k, воспользуемся теми дополнительными условиями, которые указаны в задаче: при t=1 (за один час) количество бактерий устроилось, т. е. x=3a. Следовательно, , откуда , и мы получаем зависимость между переменными: .

Чтобы ответить на вопрос задачи, находим количество х при t=5: , . Как видно, через 5 ч количество бактерий увеличится в 243 раза.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде y(х, у)=с).

.

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. и величины всегда неотрицательные.

Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.