Последовательности и ряды. Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента

Пример 2.16.

Найти первые три члена последовательности

Решение.

2.87. Найти пять первых членов последовательности , если:

1) 2) 3) 4)

2.9.1. Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство −а_n − A−< ε.

Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.

Решение.

Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:

Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.

2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что

;

Пример 2.18. Найти предел последовательности .

Решение.

2.89. Найти предел последовательности:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

2.90. Вычислить пределы, используя равенство