ЗАДАНИЕ №14

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .
2. Найти точки пересечения функции с осями координат Оx и Oy.
3. Найти точки разрыва и определить тип.
4. Установить, является ли функция четной, нечетной и периодической.
5. Найти асимптоты графика функции .
6. Найти ,определить точки экстремумов и интервалы возрастания >0) и убывания <0) графика функции .
7. Найти , определить точки перегиба ( =0) и интервалы выпуклости ( <0) и вогнутости ( >0) графика функции .
8. По результатам исследования построить график функции .

II. План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].

1. Найти критические точки функции =0 или не существует).
2. В каждой критической точке определить знак производной слева и справа. Если меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.
3. Вычислить значения функции в точках экстремума и при x=a, x=b.
4. Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b].

Пример 1.Пусть .

Решение:

1. Функция определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функции y=lnx:
2. В точке график пересекает ось Ox. С осью Oy график функции не пересекается.
3. В граничной точке x=0 области допустимых значений функция имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

1. Функция является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств , , , где T>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно, является функцией общего вида.

1. Так как в точке x=0 имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

1. Находим и критические точки:

1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например, <0.

Составим таблицу

	(0,e)	e≈2.72	(e,+∞)
	+		-
	Возрастает		Убывает

1. Находим вторую производную , , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

	-		+
График	Выпуклый		Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

1. На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

Решите самостоятельно следующие задачи:

14.1. Определите интервалы возрастания и убывания функции .

14.2. Найти экстремум функции и определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-2,4].

14.3. Найти асимптоты графика функции .

14.4. Найти асимптоты кривой .

14.5. Исследовать функцию .

Задачи на эту тему можно найти в [3] гл.7 §2.