ЗАДАНИЕ №13
Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
Для раскрытия неопределённостей вида или используется правило Лопиталя:
Пусть и две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если при данном стремлении x существует, то существует и
.
Пример 1.Найти предел
Решение: При имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:
Ответ:
Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.
Пример 2.Найти предел .
Решение: При получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду
Теперь при и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя
Ответ:
Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду
Пример 3.Найти предел .
Решение : Здесь , при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду и получаем
где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.
Ответ:
Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].
Следующие задачи решите самостоятельно:
13.1 Вычислить
13.2
13.3
Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 562;