ЗАДАНИЕ №12

Следующая задача относится к вычислению производных.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки «x».

Производной функции y=f(x) в точке «x» называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента , при стремлении к нулю.

Производная функции f(x) в точке x существует, если f(x) непрерывна в точке x и

Для отыскания производных элементарных функций используется таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Основные правила дифференцирования:

Для дифференцируемых в точке x функций f(x) и g(x) справедливы равенства:

Производная сложной функции где - промежуточный аргумент. Если существуют и , то

или

Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция , которая имеет в точке y производную , то

или

Дифференцирование неявной функции. Пусть уравнение

определяет y как неявную функцию от x, т.е. y=f(x) – неизвестная дифференцируемая функция и F(x,y) сложная функция. Дифференцируем по x обе части и получаем уравнение первой степени относительно , из которого легко находится - производная искомой функции.

Производная параметрически заданной функции x=x(t), y=y(t), - параметр. Если существуют производные и , то

Пример 1.Найти производные следующих функции:

а) , б) , в)

Решение: а) . Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для , и , по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б) . Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций , где - есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в) , . Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что , - сложные функции.

Подробно о производных можно прочесть в [1] гл.9, [4] гл.3 и найти задачи можно в [3] гл.7 §1.