ЗАДАНИЕ №9

Чтобы решить задачу№9,необходимо уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической их формах. Подробно прочитать об этих числах можно в [4] гл7.

Пример 1.Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Решение: Алгебраической формой комплексного числа называется следующий его вид z=x+iy. Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами вида a+xb. Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.

Заметим что

Пример 2.Найти тригонометрическую форму числа . Найти:

Решение :Выражение вида называется тригонометрической формойчисла z, где модулем z называют , аргументом z– уголмежду радиус-вектором точки zи положительным направлением оси Ох.

Очевидно, что если |z|= r, arg z = j, то действительная часть числа z Re z = x = r cosj, а мнимая часть числа z Jm z = y = r sin j.

Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде

Для определения тригонометрической формы комплексного числа z найдём r,

Та как sin и cos угла отрицательны, делаем вывод, что угол находится в III четверти

Вычислим по формуле Муавра

1²⁰=1

Пример 3.Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числа zназывается любое число , такое, что и ω имеет nразличных значений.

Решение: если число z представить в тригонометрической форме

то значения можно представить формулой

Поскольку все одинаковы, а аргументы отличаются на 2П/n, то значения на комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного n угольника. Величина называется главным значением корня

Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.

Решить самостоятельно следующие задачи:

9.1 .Найти все значения

9.2 .Найти все значения